Образовательный электронный файл

Логика неопр еделенности и неопределенности во времени Анкин Д.В. В классической логике высказываниями называют предложения , которые оцениваются либо как истинные, либо как ложные, но не то и другое одновременно. Даже если для конкретного высказывания ни один из людей не в состоянии доказательно обосновать его истинность или ложность, выска зывание считается объективно имеющим одну, и ровно одну, из указанных ис тинностных характеристик. Например, знаменитая гипотеза Ферма в настоя щее время является таким высказыванием. Но остается надежда, что ответ н а вопрос об истинности или ложности данного высказывания может быть пол учен в будущем. И, хотя у нас нет и быть не может (согласно одной из ограничи тельных теорем К. Геделя) эффективного метода перечи сления арифметических истин, каждое арифметическое высказывание счита ется наделенным одним из двух истинностных значений безотносительно к тому, умеет или нет познающий субъект это значение установить. Сказанное касается не только арифметики и даже не только математики, а о тносится к любым предметным областям вообще. Классическая логика распр остраняет принцип бивалентности на любой универсум рассуждений: всяко е высказывание, о чем бы оно ни было, является либо истинным, либо ложным, н о не тем и другим сразу. Если же некоторое предложение, по виду напоминающ ее высказывание, не имеет одной из двух возможных истинностных характер истик, то это не высказывание, а бессмысленное выражение. Такой подход, развиваемый классической логикой, влечет определенные пр едставления о реальности. Извинимся за невольный каламбур: высказав это утверждение, далее следовало бы сказать, что данные определенные предст авления основываются на идее тотальной определенности всего сущего. Но так оно и есть. Классическая логика принимает фундаментальную онтологи ческую предпосылку об определенности реальности любого рода. Не потому реальность определенна, что высказывания о ней всегда либо истинны, либо ложны, а, наоборот, высказывания всегда либо истинны, либо ложны потому, ч то реальность полностью определенна. Если возникают проблемы с определ енностью высказываний, то ответственность за это возлагается не на опис ываемую ими предметную область, а на эти высказывания. Предложение “Сокр ат сидит” лишь по виду высказывание. Оно не истинно и не ложно, ибо иногда Сократ сидит, а иногда нет. В полностью определенном универсуме классиче ской логики необходимо указать момент (или интервал) времени, в который п роисходит описываемое событие: “Сократ сидит в момент времени t ”. А это уж е матрица для получения высказываний, истинных для одних конкретных мом ентов времени и ложное для других. Теперь высказывание типа “Сократ сиди т 1 мая 399 г. до н. э. в 8 часов 5 минут 16 секунд” навечно либо истинно, либо ложно, даже если никто ни с ейчас, ни когда-либо в будущем не сможет надежно установить его истиннос ть или ложность. Мы с легкостью смиряемся с идеей определенности событий прошлого. Друго е дело, что предикаты событий могут требовать уточнения. В рассматриваем ом случае слово “сидит” двусмысленно: Сократ в мае 399 г. до н. э. находился в тюрьме (“сидел”, так сказать), но мог в некоторый момент этого интервала времени сидеть или не сидеть в смысле занятой им позы. Но двусмысленности всегда можно устранить. А уж если при этом указано еще точное время и место свершения события, то последние со мнения в его определенности отпадают. Таково господствующее мнение. Мало кто задумывается, что уточнения пространственно-временных характ еристик событий прошлого могут вести к недопустимому переходу от завед омо истинных высказываний к весьма проблематичным суждениям. Утвержде ния “Заратустра основал зороастризм в VI в. до н. э.” и “Заратустра основал зороастризм в XVI в. до н. э.” не могут быть вместе истинными, но каждое при нимается каким-либо специалистом. Следовательно, от практически несомн енного “Заратустра основал зороастризм” приходим к определенным во вр емени, но сомнительным утверждениям, поскольку “расхождения в датировк е, достигающие у современных исследователей тысячи лет и более, отражают и подчеркивают то обстоятельство, что в дошедших до нас источниках нет н адежных конкретных данных для определения времени жизни Заратуштры” [9. С. 289]. Вряд ли нужно настаивать, что з атруднения подобного рода в высшей степени характерны для историческо го познания, занимающегося изучением универсума прошлого. Сомнения в определенности будущего возникали и возникают гораздо чаще. Еще основатель логики Аристотель столкнулся с проблемой истинностной оценки высказываний о случайных будущих событиях. В подтверждение сказ анного обратимся к знаменитому фрагменту из трактата Аристотеля «Об ис толковании» вЂ“ главе 9, в которой обсуждается проблем а эпистемологического статуса высказываний о будущих случайных событи ях [5]. Этот небольшой аристотелевский текст вызвал поя вление несоизмеримо большого числа статей и даже книг, посвященных анал изу содержащихся в нем идей. (См., напр., [11]. Здесь же можно найти библиографию по рассматриваемому вопросу.) В чем причина такого интереса к фрагменту? Скорее всего, в том, что эти идеи совершенно не вписываются в господствую щую логическую парадигму, основанную на статической концепции времени, в которой время по сути полностью определенно и неизменно во всех его ча стях [1]. Аристотель же, вне всяких сомнений, был сторонн иком динамической концепции, утверждающей, в частности, нефиксированно сть (и потому неопределенность) будущего [1. С. 36-37]. Отсюда фундаментальное различие, проведенное Аристотелем между высказ ываниями о прошлом и настоящем, с одной стороны, и будущим – с другой: “Ит ак, относительно того, чт o есть и чт o стало, утверждение или отрицание необ ходимо должно быть истинным или ложным... Однако не так обстоит дело с един ичным и с тем, чт o будет” [5, 18 a 28-33]. Единичное случайное соб ытие, если оно уже совершилось, позволяет формулировать о нем либо истин ные, либо ложные высказывания. Если же оно относится к несуществующему б удущему, ему только еще предстоит произойти или не произойти. Поэтому в м омент настоящего высказывание о том, произошло ли будущее случайное соб ытие или нет, еще не стало истинным или ложным, “ибо с тем, чт o не есть, но мож ет быть и не быть, дело обстоит не так, как с тем, чт o есть” [5, 19 b 2-4]. В качестве примера такого события Аристотель разбирает з автрашнее морское сражение. Необходимо лишь то, что оно будет или не буде т, но не то, что оно необходимо будет или необходимо не будет [5, 19 a 30-33]. Высказывания “Завтра произойдет морское сражение” и “За втра морское сражение не произойдет” пока не истинны и не ложны, или, как г оворит Аристотель о суждениях такого типа, “не немедля” истинны или ложн ы [5, 19 a 38]. Речь идет именно о случайных будущих событиях, поскольку высказывания о том, что совершается по необходимости, будут истинны или ложны независим о от момента их произнесения или написания. В результате центр тяжести п адает не на разделение темпоральных высказываний на датированные (и пот ому якобы определенные во времени) и не содержащие даты, а на разделение и х на определенные во времени и неопределенные во времени. Определенные в о времени высказывания, согласно Аристотелю, описывают либо то, что стал о, либо то, что вообще не знает становления. Если морское сражение случайн о состоялось, то высказывания о нем будут истинны или ложны на все оставш иеся времена. Еще лучше, когда положение дел не может быть иным, когда оно воплощает в себе необходимость. Примером необходимо истинного высказы вания является закон исключенного третьего. Каким бы ни было событие, он о в каждый момент времени либо существует, либо не существует, либо будет, либо нет, ибо “все необходимо есть или не есть, а также будет или не будет” [5, 19 a 28]. То есть закон исключенного третьего действует н езависимо от типа событий, о которых высказываются. Дизъюнкция “Завтра п роизойдет морское сражение или Завтра морское сражение не произойдет” истинна несмотря на то, что входящие в нее суждения пока не истинны и не ло жны. Что касается суждений о не ставшем, о подверженном изменению сущест вовании, то подобные суждения вообще не допускают приписывания определ енного истинностного значения из альтернативы “истина – ложь”. В таком случае получает объяснение настойчивое стремление ряда античных мысли телей найти неподверженное всеразрушающему потоку времени стабильное бытие, относительно которого можно сказать либо что оно было или есть, ли бо что оно было, есть и будет. Анализируя аристотелевскую проблему, выдающийся польский логик Я. Лукасевич пришел к идее третьего истинностного знач ения. Ни одно из противоречащих друг другу высказываний о завтрашнем сра жении сегодня не истинно и не ложно. Эти высказывания лишь впоследствии обретут привычные значения истины или лжи [14]. Бурно развивающиеся в наше время исследования в области многозначных л огик не касаются проблемы прошлых случайных событий. Точнее говоря, тут вообще не усматривают проблемы. Действительно, если каждое высказывани е об актуальном событии либо истинно, либо ложно, и если прошлое неизменн о, то при переходе в прошлое и во все более далекое прошлое эти высказыван ия сохранят свой истинностный статус. Например, если 15 мая 1591 года было истинно высказывание “Цар евич Дмитрий убит”, то оно будет (в силу неизменности прошлого) истинным и 15 мая 2002 года и во все последующие вр емена. Установить истинностную характеристику данного высказывания ле гче, конечно, по горячим следам. Сейчас это сделать труднее ввиду отдален ности события. Но, коль скоро истинностная характеристика со временем не изменилась, трудности преодолимы, по крайней мере, в принципе. Так или примерно так рассуждают сторонники тезиса о неизменности прошл ого. Но на практике историки часто говорят о невозможности верификации и ли фальсификации определенных высказываний о прошлом. Могут возразить, что точно так же зачастую невозможно установить истинностные значения высказываний об актуальных событиях, происходящих в отдаленных от нас о бластях Вселенной. Это возражение бьет мимо цели, так как с точки зрения с овременной физики вследствие конечной скорости распространения взаим одействий последствия этих событий могут быть обнаружены лишь в будуще м. В этом смысле события, которые мы наблюдали бы, если бы мгновенно перене слись в какую-нибудь другую звездную систему, реально могут себя обнаруж ить для познающего субъекта только как прошлые события. Так что простран ственно удаленные события на самом деле познаются как события прошлого, поэтому перед нами встают те же самые проблемы объяснения особенностей ретроспективного познания. Правда, сказанное выше не следует возводить в абсолют, как это сделал Ю. Б. Молчанов, утверждая, что все позн аваемые нами события – это “события прошлого, которые произошли на стол ько раньше, сколько времени требуется тому или иному сигналу, чтобы прео долеть расстояние от места их свершения до моих рецепторов и моего мозга ” [15. С. 125]. Ошибочность этого рассужд ения в том, что настоящее в реальной познавательной практике длится. Так, никому и в голову не придет считать себя старше своего отражения в зерка ле, историк не будет называть настоящим промежуток времени в 1 секунду, настоящее расположение материков для геолога длитс я годами и так далее. Прошлое начинается за рамками интервала настоящего , имеющего различную продолжительность для разных областей реальности ( в зависимости от характерной скорости изменения наполняющих время соб ытий). Возвращаясь к основной линии изложения, отметим, что факт невозможности установления истинностных значений некоторых осмысленных высказыван ий о прошлом при том условии, что эти же высказывания легко верифицируем ы или фальсифицируемы в случае актуально происходящих событий (предста вим, например, что мы наблюдаем за царевичем Дмитрием в течение суток 15 мая 1591 г. и затем верифицируем выска зывание о причине его смерти), свидетельствует об особом статусе прошлог о в сравнении с настоящим. Реальность прошлого – это не то же самое, что р еальность актуального настоящего. Это реальности разных видов, различа ющиеся способом существования. К пониманию этого подходил Я. Лукасевич, утверждая, чт о “и к прошлому мы должны относиться точно так же, как и к будущему”. Даже “ всевидящий разум” о некоторых событиях прошлого не мог бы утверждать, “ч то они были, но лишь, что они были возможны” [14. C . 205]. Сказанное означает, что для описания прошлого (как и будуще го) нам недостаточно традиционных истинностных характеристик . Вряд ли в самой действительности остались следы угличских событий полутысячеле тней давности, которые позволили бы нам или нашим потомкам разрешить заг адку смерти царевича. Слишком фрагментарны эти следы. По сути, след событ ия всегда фрагментарен и неполно характеризует событие, его оставившее. Но историческая реальность – это реальность совокупности следов. Обяз ательно найдутся такие свойства событий, которые будут отсутствовать в совокупности соответствующих следов. “Отсутствовать” в смысле невозмо жности обоснованно утверждать ни то, что эти свойства были, ни то, что их н е было. Поэтому некоторые осмысленные высказывания о существовавшем в п рошлом объекте неизбежно будут иметь третье, неопределенное истинност ное значение. Так, химические методы в ряде случаев позволяют установить, что содержан ие ядовитых веществ в останках людей в несколько раз выше нормы. Наприме р, в волосах Наполеона обнаружили повышенное содержание мышьяка и сурьм ы. Однако это не позволяет сделать однозначный вывод о том, что превышени е нормы произошло вследствие отравления бывшего императора злоумышлен никами. При отсутствии в самой реальности других значимых следов версия об отравлении Наполеона останется недоказанной [12]. В этом случае высказывание “Наполеон был отравлен” получает неопределен ную истинностную оценку. Следует различать онтологическую и гносеологическую неопределенност ь, когда мы говорим о третьем истинностном значении. Так, с определенност ью можно утверждать, что среди теорем, которые ученые считают доказанным и в настоящее время, имеются ложные высказывания. Но принятие данного ут верждения в качестве истинного не специфицирует ни одной теоремы, ошибо чно относимой к доказанным истинам. Про любую теорему t мы можем либо утве рждать, что она доказана, либо указать, что некоторые ученые считают ее до казанной, либо сослаться на то, что никому не удалось показать ее ошибочн ость. В любом случае, если t I T , где T – класс всех теорем, принятых в настоящее время в качестве доказанных, то н е обязательно мы будем настаивать на несомненной истинности t . А вдруг ошибочность t просто не заметили, или эта ошибочность проистекает из нетривиальных соображений? Представим себе, что ошибочн ое приписывание значения “истинно” теореме t I T карается смертью. Не окажется ли в этом случае список истинн ых теорем слишком коротким? Я, пожалуй, рискну на этих условиях утверждат ь, что в арифметике Пеано 2 ? 2=4, что А ® А доказуемо в классическом исчислении высказываний и т. п. Но вряд ли я решусь утверждать, что для раскраски любой карты достаточно четырех цветов или что арифметика Пеано непротиворечива. А вдруг четырех цветов недостаточно, а вдруг ариф метика противоречива – не расставаться же из-за этого с жизнью! С другой стороны, для любой теоремы t I T не подходит и характеристика “ложно”, поскольку, по определе нию, T составляют лишь такие утверждения, про которые думают, что они истин ны. В этих условиях для каждого t I T н еизбежно либо принятие утверждения, что t истинна, либо утверждения, что t неопределенна (т. е. может оказаться истинной, но может быть и ложной, хотя последнее менее вероятно в общем случае). Ясно, что при нятие теоремы, на истинности которой мы не настаиваем категорически, име ет гносеологический характер. Если завтра для некоторой теоремы t I T будет показано, что t ложно, то это не потому, что t сегодня была истинной, а завтра стала ложной. Утверждение t и сегодня было ложным, но мы этого не знали. Но данное незнание действител ьно имело место, так что (за вычетом тех, кто лишился жизни за принятие t в ка честве истины) правы были эксперты, приписавшие утверждению t неопределе нное истинностное значение. Таким образом, в приведенном примере мы имел и дело с гносеологической неопределенностью. С иным положением дел сталкивается исследователь прошлого и будущего. В момент “теперь” онтологически уже не существует части прошлой жизни и о нтологически еще не существует будущей истории во всех ее деталях. Если истинность или ложность утверждения теоремы остается неизменной в век ах, то для событий, зависящих от времени, дело обстоит противоположным об разом. Не думаете ли вы, что в эпоху существования динозавров уже существ овала объективная возможность появления этих строк? Равным образом, не д умаете ли вы, что любой из существовавших динозавров оставил в самой реа льности неизгладимый след? – Нет, возникновение этих строк, а также чита ющих их, было творческим актом Вселенной, отнюдь не заложенным в ней от на чала времен. Точно так же неизбежно с течением времени исчезнет наша эпо ха, оставив в лучшем случае какие-либо следы. Но что-то из нашей жизни исче знет без следа. В отношении таких процессов возникновения и исчезновени я во времени имеет место онтологическая неопределенность. Традиционные истинностные значения 1 (истина) или 0 (ложь) высказывания А в ыражаются в языке посредством утверждения либо А, либо O А. Соответственн о, в языке должна иметься возможность выражать неопределенность, котору ю обозначим знаком 1/0. Введем для этого новую унарную логическую связку “н ”: нА будем читать как “неопределенно А”, “А не определ ено” и т. п. Теперь в случае ¦А¦ = 1 утверждаем А, в случае ¦А¦ = 0 утверждаем O А, и в случае ¦А¦ = 1/0 утверждаем нА (здесь ¦...¦ – функция истинностной оценки выс казываний). В согласии с аристотелевским подходом к неопределенности будем считат ь, что закон исключенного третьего по-прежнему действует и формула А U O А истинна при любом А, но теперь из А U O А уже не следует, что либо ¦А¦ = 1, либо ¦ O А¦ = 1 (или что либо ¦А¦ = 0, либо ¦ O А¦ = 0), поскольку не исключено, что ¦А¦ = 1/0 и ¦ O А¦ = 1/0. С интуитивной точки зрения, неоп ределенность высказывания А влечет неопределенность его отрицания O А, и наоборот. Поэтому примем также, что нА « н O А, т. е. А не определено тогда и только тогд а, когда O А не определено. Если же высказывание А определенно, то по-прежне му из двух противоречащих высказываний А и O А одно является истинным, а др угое ложным. Например, суждение “Клеопатра – женщина” определенно исти нно, и, значит, его отрицание ложно, тогда как суждение “Клеопатра – краса вица” может вызвать споры, во избежание которых этому суждению припишем неопределенное истинностное значение, откуда его отрицание также неоп ределенно. В работах [2], [3], [4, гл. 9] нами была предло жена и исследована формальная семантика для языка логики предикатов пе рвого порядка, пополненного оператором неопределенности “н”. В построе нной семантической теории неопределенности, которая была названа н-сем антикой , неопределенность задается набором возможных миров вида ( где U – единый для всех миров непустой универсум, F i – функция интерпрета ции, а J – множество индексов числом не менее двух), попарно отличающихся интерпретацией хотя бы одного предикатного символа. То есть при i ? j найде тся такой предикат Р, что F i (Р) ? F j (Р). При этом для любой индивидной константы с принимается F i ( с ) = F j ( с ). Иными слов ами, имена индивидов считаются твердыми десигнаторами (имеющими одинак овый денотат во всех возможных мирах), а ответственность за неопределенн ость возлагается на мягкие десигнаторы – предикаты (которые могут имет ь разные денотаты в разных мирах). Отношение достижимости на мирах отсут ствует. Под неопределенностью высказывания в самом общем плане понимае тся ситуация, в которой высказывание истинно в одних мирах и ложно в друг их. Эта простая семантическая идея привела к неожиданным следствиям. Мно жество общезначимых формул н-семантики оказалось рекурсивно перечисли мым, однако было доказано, что понятие естественным образом заданного ло гического следования в ней не формализуемо, а теорема компактности не ве рна. Два последних свойства (а также некоторые другие особенности н-семантик и) нежелательны. Они излишне усложняют формальные семантические характ еристики неопределенности, тогда как с содержательных позиций все отно сительно просто: есть определенные высказывания, истинные во всех мирах или ложные во всех мирах, и есть неопределенные высказывания, истинные в одних мирах и ложные в других. Законы классической логики истинны во все х возможных мирах, а противоречия ложны во всех мирах. Поэтому, в частност и, А U O А – определенное высказыван ие (и при том истинное), и O (А U O А) – та кже определенное высказывание (но ложное). Стало быть, высказывания А U O А и O (А U O А) остаются определенными незави симо от того, является ли исходное высказывание А опр еделенным или неопределенным. Эта, восходящая к Аристотелю, позиция для нас принципиальна. Но именно она заставляет говорить о простоте семанти ческой идеи неопределенности в относительном смысле. Ведь при таком под ходе истинностное значение сложного выражения не является, в общем случ ае, функцией от истинностных значений его частей. И тут ничего не поделае шь. Что приписать дизъюнкции А U В, е сли ¦А¦ = 1/0 и ¦В¦ = 1/0? Максимум? – Тогда ¦А U В¦ = 1/0. Но если В есть O А? – Тогда ¦А U В¦ = 1. Аналогичные трудности возникают в отношении конъю нкции, импликации и эквивалентности – для них тоже не существует адеква тных трехзначных таблиц. Например, рассмотрим высказывание А « В. Пусть ¦А¦ = 1/0 и ¦В¦ = 1/0. Но не спешите приписывать ¦А « В¦ = 1. Если В есть O А, то ¦А « O А¦ = 0, поскольку А « O А противоречиво и, значит, А « O А ложно во всех мирах. Если же ист инностное значение А совпадает с истинностным значе нием В в мире a , но не совпадает в мире b , то А « В истинно в a и ложно в b . Отсюда ¦А « В¦ = 1/0. И т. п. Однако это так только для бинарных логических связок. Унарные логические связки “ O ” и “н” составляют исклю чение, поскольку определяются следующей таблицей. А O А нА 1 0 0 1/0 1/0 1 0 1 0 Действи тельно, если высказывание А истинно (ложно) во всех мир ах, то его отрицание будет ложным (истинным) также во всех мирах. В любом сл учае А и O А определенны, поэтому приписывание им неопределенности ложно. Если же А истинно в мире a и ложно в мире b , т. е. если ¦А¦ = 1/0, то, конечно, высказывание “А нео пределенно”, т. е. высказывание нА, будет истинным. Пос ле того как высказывание нА получило истинностную оценку, оказывается, ч то оно стало либо ложным, либо истинным, т. е. превратил ось в определенное высказывание. Поэтому, в соответствии с таблицей, люб ое высказывание вида ннА окажется ложным, так что формула O ннА является п ервым примером специфического логического закона u = O ннА, связанного с оп ератором неопределенности “н”. В целом можно сказать, что вместо принципа бивалентности нами принимает ся семантический принцип тривалентности , согласно которому любое выск азывание либо истинно, либо ложно, либо неопределенно. Четвертого не дан о. Однако принцип тривалентности здесь не ведет к отбрасыванию закона ис ключенного третьего (А U O А) и принят ию вместо него закона исключенного четвертого в форме (А U O А U нА). Разумеется, последняя формула является законом, т. е. u = (А U O А U нА), но, тем не менее, законом остается и пер вая формула, т. е. u = (А U O А). Зато формулы (А U нА) и ( O А U нА) законами не являются. Тут от сутствует какая-либо непоследовательность в рассуждениях. Все дело в то м, как добываются истинностные значения. А они получаются в зависимости от положения дел в возможных мирах. При нашем подходе возможные миры сущ ествуют не наряду с действительным миром, а в совокупности его составляю т. Действительный мир распадается на возможные миры потому, что ему объе ктивно присуща неопределенность. Точнее говоря, возможные миры в нашем с мысле совпадают друг с другом в определенной части реального мира, и раз личаются лишь в отношении его неопределенной части. Она потому и неопред еленна, что в реальности ее нельзя свести к чему-то одному. Законы классич еской логики описывают определенную часть реальности, поэтому они сохр аняются в любом возможном мире. Что же касается неопределенностей, то у н их свои законы, которые должны ужиться с законами классики. Иными словами, логика неопределенности должна быть консервативным рас ширением логики классической. Лишь в этом случае есть надежда, что она бу дет не просто еще одним добавлением к многочисленному семейству абстра ктных неклассических логик, представляющих только теоретический интер ес, но на самом деле будет логикой, т. е. основой для реал ьных рассуждений. Ведь, как известно, чаще всего даже авторы неклассичес ких систем в действительности не рассуждают в соответствии с построенн ыми ими же исчислениями и семантиками. Бывает забавно наблюдать, как поб орник какой-нибудь неклассической логики, основанной на отбрасывании н екоторых законов классики, и таким образом, не являющейся ее расширением , доказывает метатеоремы для своей “логики”, пользуясь исключительно ло гикой классической. Приведенные рассуждения подводят к очень важному для дальнейшего закл ючению. Во всех ситуациях определенность имела место тогда и только тогд а, когда какое-то положение дел А было одинаковым во вс ех возможных мирах. Для возникновения неопределенности в отношении А требовалось наличие двух миров a и b таких, что А имело место в a и не имело места в b или наоборот. Что делается в других мирах, отли чных от a и b , – уже не существенно в том смысле, что ситуация в них никак не с пособна повлиять на неопределенность А . Это наблюде ние приводит к выводу, что с логической точки зрения для описания свойст в неопределенности достаточно двух возможных миров . Третий, четвертый и последующие миры могут нести дополнительную информацию фактического характера, но ничего не добавят к логическим характеристикам определен ности или неопределенности, подобно тому, как в классической логике любы е дескриптивные особенности высказываний элиминируются стягиванием и х всех к двум полюсам – истина и ложь. В отличие от классики, теперь в цело м перед нами не два, а три варианта: А выполнено во всех мирах, А не выполнен о во всех мирах, и А выполнено в одном мире и не выполнено в другом. Но в посл еднем случае достаточно опять-таки двух вариантов или двух миров для воз никновения неопределенности в отношении А . Это позв оляет свести рассуждения о неопределенности к двум возможным мирам, что , как можно надеяться, значительно упростит логическую теорию неопредел енности без потери каких бы то ни было существенных характеристик иссле дуемого феномена. Как уже говорилось, идея неопределенности была нами развита на основе не классической логики. Тривиально ясно, что логика, содержащая третье исти нностное значение и новый логический оператор “н”, не может быть классич еской. Однако нельзя ли как-нибудь приблизить неклассическую логику нео пределенности к классике таким образом, чтобы избавить ее хотя бы от час ти нежелательных свойств, о которых упоминалось выше? Мы предлагаем весь ма радикальный вариант решения поставленной проблемы. Его суть состоит в предложении развивать логику неопределенности как бы внутри классич еской логики. Основная идея следующая. Каждый согласится, что бывает так, что Р( c ), но O Q ( c ), т . е. индивид с обладает свойством Р, но не обладает свойством Q . При этом все полностью опр еделенно. Для возникновения неопределенности в отношении Р и с , надо, что бы в некотором мире a было Р( c ), а в мире b – O Р( c ). Тогда можно утверждать, что нР ( с ). Однако введение этих миров сделает семантику неклассической. А что, е сли в качестве O Р( c ) использовать O Q ( c )? Обоснованно возразят, что Р и Q являютс я разными предикатами. Как же можно в этих условиях утверждать нР( с )? Но чт о означает различие в предикатах – только ли различие в написании? Нет, н е только. Главным является как раз не это, а то, как определяются предикаты . При аксиоматическом подходе, например, мы можем принять некоторые утве рждения про Р и Q в качестве аксиом, приняв, допустим, что " хР(х) и O" х Q (х). Тут ра зличие между Р и Q действительно очевидно и речь в самом деле идет о разных свойствах. Однако предположим, что Р и Q определяются одинаково , т. е. всякая аксиома для Р превращается в аксиому для Q посредств ом замены Р на Q и, наоборот, всякая аксиома для Q превращается в аксиому для P посредством замены Q на P . Какие теперь есть основания утверждать, что Р и Q различны? Основания эти вытекают из того, что одни и те же аксиомы можно ин огда интерпретировать по-разному. Если принимаются высказывания " хР(х) и " х Q (х), то предикаты Р и Q в рамках классики совпадут в любом универсуме при любой интерпретации. Но если в качестве аксиом принимаются формулы $ хР(х) и $ х Q (х), то интерпретации данных предикатов могут быть различны. Однако до думаем высказанную мысль до конца. При совпадении аксиом для Р и Q мы имеем право в любом случае вести речь если и не о совпадении, то, по крайней мере, о сходстве Р и Q . Здесь больше оснований говорить о сходстве, чем в той ситу ации, когда интерпретации одного и того же предиката Р в мирах a и b никак не связаны. И именно опираясь на это сходство, мы получаем полное право при н аличии Р( c ) и O Q ( c ) не только утверждать, что нР( с ), но и (поскольку отношение сх одства симметрично) утверждать н Q ( c ). Обсуждаемое сходство можно подкрепить психологически, сделав похожими начертания сходных предикатов. Удобнее вместо Q использовать, допустим, Р*. Важно подчеркнуть, что суть идеи сходства не в этом. Мы называем n - местн ые атомарные предикаты Р(х 1 , ..., x n ) и Q (х 1 , ..., x n ) сходными в теории Т, если любая акс иома Т, содержащая эти предикаты или один из них, остается аксиомой данно й теории Т после одновременной замены каждого вхождения Р(х 1 , ..., x n ) на Q (х 1 , ..., x n ) и каждого вхождения Q (х 1 , ..., x n ) на Р(х 1 , ..., x n ). Аналогичным образом определяе тся сходство в теории Т функциональных символов. Перейдем к более детальным построениям. Пусть Т вЂ“ аксиоматическая теор ия в языке L классического исчисления предикатов первого порядка. Сопост авим каждому n -местному атомарному предикатному символу Р(х 1 , ..., x n ) языка L n -местный атомарный предикатный символ Р*(х 1 , ..., x n ), а каждому n -местном у функциональному символу t (х 1 , ..., x n ) – n-местный функциональный символ t *(х 1 , ..., x n ). Индивидные константы (если они вообще имеются) оставим без изменений [1] . Получим язык L*. Теперь заменим в аксиомах теории Т каждое вхо ждение предикатных и функциональных символов на соответствующие симво лы со звездочкой. Результат описанной замены для аксиомы А обозначим через А*. В итоге получим теори ю Т* в языке L*, содержащую в качестве аксиом только формулы вида А*. Объединим полученные теории в одну. Получим теорию Т E Т* в языке L E L *. Те ория Т E Т* вряд ли может кого-то заин тересовать. Просто она содержит два параллельных ряда аксиом, отличающи хся лишь наличием или отсутствием звездочек в их формулировках. Однако п онятие формулы претерпело существенное изменение. Формулами теории Т E Т* отныне являются не только форму лы языка L и формулы языка L * по отде льности, но и смешанные формулы, содержащие как символы без звездочек, та к и символы со звездочками. Пусть А – какая-либо формула языка L E L *. Через А* обозначим результат одновреме нной замены в А каждого предикатного или функционального символа без зв ездочки на соответствующий символ со звездочкой, а каждого предикатног о или функционального символа со звездочкой на соответствующий символ без звездочки . Так определенная операция * на формулах обладает следующим очевидным св ойством. Предложение 1 . Любая формула А графически совпадает с А**, но ни одна формул а А не совпадает с А*. По аналогии с атомарными формулами, произвольные формулы А и А* также буд ем называть сходными в теории Т E Т*. Положим L н = L E L * E н , где “н” вЂ“ символ новой унарно й логической связки. Добавим к Т E Т* важное определение. Точнее, схему определений. Для любой формулы А языка L н аксиомой является следующая формула: нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)). Содержательный смысл данного определения должен быть ясен из вышесказ анного. В частности, если А – формула языка L E L * (это означает, что в А нет вхождений оператора “н”), то А неопре деленна тогда и только тогда, когда она выполнена в модели теории Т E Т*, а сходная с ней формула А* не выполнена в той же модели, или, наоборот, А не выполнена, но А* выполнена. Теорию Т E Т* с присоединенной схем ой определений нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)) в качестве новой аксиомной схемы назов ем минимальной теорией с неопределенностью Тн в языке L н. Короче, минимал ьная Тн = Т E Т* E нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)) . Интересно обсудить вопрос: относится ли предложенная конструкция к чис той логике, или она является частью прикладных построений? Уточним поста новку вопроса. Пусть исходная теория Т вЂ“ это просто одна из аксиоматиче ских формулировок чистого исчисления предикатов первого порядка без р авенства. Нет никаких причин сомневаться, что Т* тогда тоже относится к чи стой логике. Но как быть в этом случае с минимальной Тн? Является ли Тн при кладной теорией (вроде арифметики или теории множеств), или ее все еще мож но считать принадлежащей к чистой логике? Представляется убедительным следующий аргумент. Аксиомы прикладных теорий истинны не во всех универ сумах, тогда как логические аксиомы верны при любых интерпретациях во вс ех непустых универсумах. Аксиомную схему нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)) невозможно провалить по той же самой причине, по какой нельзя опроверг нуть, например, сокращение (А & В) « O (А ® O В), добавленное к исчислению, сформулированному в языке O , ® . Так и в рассматриваемом случае. Формула нА « ((А & O A *) U ( O A & A *)) по сути является сокращением, позволяю щем в более компактном виде представлять некоторые формулы. Можно, конеч но, принять закон O ((А & В) « O (А ® O В) ), но это будет какая-то другая, неклассическая логика. Также можно придать унарной логической связке “н” какой-то другой смысл. Но эт о тоже будет уже другая логика. Придадим сказанному формальный смысл. Пусть – стр уктура для языка L E L *. Поскольку язы к L E L * является языком исчисления п редикатов первого порядка, функция интерпретации F предикатных, функцио нальных и индивидных констант из L E L * на непустом универсуме U стандартна. Все, что требуется для т ого, чтобы сделать структурой для языка L н, – это определить условие выполнимости для формул вида нА. Это условие очевидно: формула нА выполнена в струк туре при оценке v тогда и только тогда, когда в при оценке v выполнена формула ((А & O A *) U ( O A & A *)). Тогда верно следующее утверждение (в ко тором знак логического закона “ u = ” имеет обычное кла ссическое значение). Предложение 2 . u = (нА « ((А & O A *) ? ( O A & A *))). Однако чисто логическая теория Тн моментально превр атится в прикладную, как только мы примем аксиому о том, что конкретная вы полнимая формула А является неопределенной. Аксиома нА для такой формул ы может выполняться в одних интерпретациях и не выполняться в других, ка к и положено аксиомам прикладных теорий. Но в этом случае теория Тн перес танет быть минимальной. Предложение 3 . Для любой теории Т теория Т E Т* является ее консервативным расширением, а минимальная тео рия Тн является консервативным расширением Т E Т* (и, значит, также Т). Как и всякую теорию, минимальную теорию Тн можно расширять, причем не обя зательно формулами, содержащими оператор “н”. В качестве новой аксиомы к Тн разрешается добавлять любую формулу языка L н. Разу меется, в результате расширение уже не обязано быть консервативным. Тем не менее, каковы бы ни были теории с неопределенностью Тн, для них верны вс е стандартные метатеоремы о первопорядковых теориях классической логи ки. Иными словами, выполняется своего рода принцип переноса . Данный факт имеет место потому, что по сути дела теории Тн не выводят нас за рамки клас сической логики. В частности, каждую формулу теории Тн, содержащую опера тор “н”, можно заменить эквивалентной ей формулой без этого оператора, э лиминировав, таким образом, оператор неопределенности “н”. Зато введение этого оператора позволяет в компактном виде сформулиров ать ряд неклассических идей, связанных с неопределенностью. Начнем с сем антики. Будем использовать понятие выполнимости в обычном смысле с учет ом расширения его на формулы вида нА, как было определ ено выше. Пусть А – формула языка L н и – структура для языка L н. А определенно в ыполнена в структуре при оценке v , если как А, так и А* выполнена в структуре при оценке v . А определенно не выполнена в структуре при оценке v , если как А, так и А * не выполнена в структуре при оценке v . Если в класси ческом случае любая формула либо выполнена, либо не выполнена, то здесь п оявляется третья возможность. Формула А неопределенно выполнена в стру ктуре при оценке v , если либо А выполнена в структуре при оценке v , но А* не выполнена в структуре при оценке v , либо А не выполнена в структуре при оценке v , но А* выполнена в структуре при оценке v . Предложение 4 . Формула нА определенно выполнена в структуре при оценке v тогда и только тогда, когда А неопределенно выпол нена в структуре при оценке v . Докажем это утверждение. Пусть нА определенно выполнена в структуре при оценке v . Значит, как нА, так и нА* выполнена в структ уре при оценке v . Согласно определению выполнимост и для формул вида нА, получаем, что в структуре при оц енке v выполнена формула ((А & O A *) U ( O A & A *)). Дизъюнкция C U D выполн ена, если выполнена формула С или выполнена формула D . Допустим, (А & O A *) выполнена в структуре при оценке v . Тогда и А, и O А* выполнена в структуре при оценке v . Раз O А* выполнена, то А* не выполнена в структуре при оценке v , т. е. А неопределенно в ыполнена в структуре при оценке v , что и требовалось . Случай ( O A & A *) рассматривается анал огично. Пусть теперь А неопределенно выполнена в структуре при оценке v . Тогда либо А выполнена в структуре при оценке v , но А* не выполнена в структуре при оценке v , л ибо А не выполнена в структуре при оценке v , но А* выпо лнена в структуре при оценке v . Рассмотрим первую во зможность. Так как А* не выполнена в структуре при оц енке v , O А* выполнена в структуре при оценке v . Значит, в структуре при оценке v выполнена конъюнкция (А & O A *) и, следовательно, дизъюнкция ((А & O A *) U ( O A & A *)), что и требовалось. Вторая возможность рассматривается аналогичным образом. Формула А принимает значение 1 ( определенно истинно ) в структуре , если А определенно выполнена структур е при всех оценках v . Формула А принимает значение 0 ( о пределенно ложно ) в структуре , если А определенно н е выполнена структуре при всех оценках v . Формула А п ринимает истинностное значение 1/0 ( неопределенность ), если А неопределен но выполнена структуре при всех оценках v . Разумеется (как и в классическом случае, когда незамкнутая формула может быть ни истинной, ни ложной), незамкнутая формула может быть ни истинной, ни ложной, ни неопределенной. Зато каждая замкнутая формула в семантике неопределенности получит какое-то из трех истинностных значений. Предложение 5 . Если А – замкнутая формула языка L н, то в любой структуре для языка L н А получит одно и только одно из трех истинностных значений: либо ¦А¦ = 1, либо ¦А¦ = 0, либо ¦А¦ = 1/0. Еще одним очевидным следствием принятых определений является следующе е утверждение. Предложение 6 . Унарные связки “ O ” и “н” подчиняются вышеприведенной табл ице истинности, тогда как бинарные связки не могут быть заданы конечной таблицей истинности. Предложение 7 . Пусть А – замкнутая формула. Тогда ¦нА¦ = ¦нА*¦ = ¦н O А¦ = ¦н O А*¦. При этом л ибо ¦нА¦ = 1, либо ¦нА¦ = 0. Для доказательства данного утверждения достаточно обратить внимание, что условия выполнимости для нА и нА* эквивалентны ввиду того, что А неопр еделенно выполнена тогда и только тогда, когда А* неопределенно выполнен а. Аналогичным образом, если формула А неопределенно выполнена, то и O А та кже неопределенно выполнена, и наоборот. Поэтому можно было бы сказать, ч то если А неопределенно не выполнена, то и O А также неопределенно не выпол нена. То есть в условиях неопределенности выполнимость и невыполнимост ь совпадают. В случае неопределенности А формула нА будет определенно ис тинной, а в случае определенной истинности или определенной ложности А ф ормула нА окажется определенно ложной. Случай ¦нА¦ = 1/0 поэтому исключаетс я. С философской точки зрения это означает, что утверждение неопределенн ости или, равным образом, отрицание неопределенности, само вполне опреде ленно. Но так и должно быть. Либо неопределенность есть, либо ее нет. Слово сочетание “неопределенная неопределенность”, на наш взгляд, лишено смы сла. Стандартное понятие общезначимой формулы распространяется на построе нную трехзначную семантику естественным образом: вместо истинно надо с казать определенно истинно . Точнее, формула А языка L н является н- общезн ачимой , если А определенно истинна в любой структуре для языка L н. Для обычной общезначимости пишем u = А, а д ля н-общезначимости будем использовать запись н u = А. Принципиальное значение имеет следующее утверждение. Предложение 8 . Для любой формулы А языка L н u = А тогда и только тогда, когда н u = А. Из определений ясно, что если н u = А, то не только u = А, но и u = А*. Доказательство в обратн ую сторону основывается на том факте, что u = А U u = А* (ведь формулы А и А* и меют одинаковую структуру). Рутинные детали опустим. Осуществив столь же естественное распространение на семантику неопред еленности понятия логического следования (снова достаточно в нужных ме стах добавить слово “определенно”), получим более общее утверждение. Предложение 9 . Г u = А U Г н u = А. Наконец, используя теорему полноты для классической логики, получаем сл едующее утверждение. Предложение 10 . Тн ? ? А U н u = А. Пора проиллюстрировать логическую теорию неопределенности конкретны ми примерами рассуждений в неопределенных условиях. Лучше всего это сде лать, обратившись к логике исторических рассуждений, поскольку именно и сследователям уже исчезнувших событий прошлого приходится сталкивать ся с неопределенностями там, где аналогичные события, будь мы их очевидц ами, не вызвали бы вопросов. Более конкретно, мы займемся проблемой прямого правила удаления кванто ра существования в рассуждениях историков. Но вначале необходимо показ ать, как эта проблема решалась в классической и интуиционистской (ставше й уже почти классической) логике. Одним из способов решения было ведение e -оператора. Как известно, идея исчисления с e -термином принадлежит Д. Гильберту. Смысл выражения вида e хА(х) состоит в указан ии на некий индивид, обладающий свойством А(х), если такой индивид существ ует. Знаки индивидов называются именами, однако в рассматриваемом случа е мы имеем дело с именем не конкретного, а неопределенного индивида, прои звольно выбранного среди объектов, удовлетворяющих свойству А(х), если т аковые вообще найдутся. Поэтому оператор e получил название оператора не определенной дескрипции . Существует также оператор определенной деск рипции , обычно обозначаемый символом i , который указывает на индивид одн означным образом. В трактовке Д. Гильберта требовани е однозначности обеспечивается доказательством существования и единс твенности введенного с помощью i -оператора объекта. Выражение i хА(х) имее т смысл тогда и только тогда, когда предварительно доказано, во-первых, чт о $ хА(х) (объект существует) и, во-вторых, что " х " у((А(х) & А(у)) ® х = у) (объект единственен) [7], или, в сокращенной форме, $ !хА(х). Отказываясь от слишком обрем енительного условия доказательства единственности и оставляя требова ние доказательства существования, приходим к h -оператору, который (так же , как и e ) оказывается оператором неопределенной дескр ипции, поскольку указывает на произвольный объект, удовлетворяющий сво йству А(х): h хА(х) означает результат выбора некоторого индивида, выполняющего свойство А(х). Необходимость перехода к оператору неопределенной дескрипции В. А. Смирнов иллюстрирует на следую щем примере [16]. Рассмотрим предложение “Семен видел в ерблюда”. Здесь “Семен” вЂ“ имя индивида, а термин “верблюд” указывает на класс индивидных объектов. Однако интуитивное понимание данного предл ожения не совместимо с утверждением “Семен видел класс верблюдов”. Имее тся в виду, что Семен видел некоторого представителя класса верблюдов, а не сам класс. Уточнить сказанное позволяет оператор неопределенной дес крипции: “(Семен) Видел ( h х Верблюд (х))”. Но выражение вида h хА(х) имеет с мысл тогда и только тогда, когда доказано $ хА(х), что также накладывает изл ишне строгие ограничения на использование оператора неопределенной де скрипции. Верблюды существуют, а динозавры нет. Поэтому утверждение “(Се мен) Видел ( h х Д инозавр (х))” оказывается просто неправильно построе нным, хотя оно имеет точно такую же форму, как и в предыдущем примере. Выходом из этого затруднения является отказ от обязательного доказате льства существования объектов, обладающих некоторым свойством, в утвер ждениях с использованием оператора неопределенной дескрипции. Гильбер т и Бернайс следующим образом обобщают идею неопределенной дескрипции, вводя e -оператор [8]. Принимается аксиома: А( t ) ® A ( e xA ( x )) (где t – терм). Кванторы общности и существования вводятся определениями: $ xA(x) = Df A( e xA(x)), " xA(x) = Df A( e x O A(x)). Теперь формулы вида В( e xA ( x )) можно вводить без каких-либо огран ичений, связанных с предварительным доказательством существования инд ивидов, обладающих свойством А(х). С семантической точки зрения, общезнач имость выше приведенной аксиомы можно обосновать следующим рассуждени ем. Пусть значением выражения e xA ( x ) будет произвольный индивид, удовлетво ряющий свойству А(х), если предикат А(х) проинтерпретирован на непустой об ласти объектов. Если же при данной интерпретации предикат А(х) пуст, то выр ажению e xA ( x ) сопоставляем любой индивид из универсума рассуждений. Пусть теперь формула А( t ) выполнена в интерпретации F при некоторой оценке f . Это означает, что предикат А(х) не пуст в интерпретации F . Ясно, что формула A ( e xA ( x )) также будет выполнена при данной интерпретации и оценке f . На самом деле A ( e xA ( x )) в рассматриваемом случае будет выполнена при любой оценке g . Если же формула А( t ) не выполнена в данной интерпретации ни пр и какой оценке, e xA ( x ) сопоставим b , где b – произвольный индивид из универсум а рассуждений. Поскольку формула А( t ) не выполнена ни при какой оценке, фор мула A ( e xA ( x )) также не будет выполнена, какую бы оценку мы ни взяли, что и требо валось. В частности, если А( t ) истинна, то A ( e xA ( x )) также будет истинна, а если А( t ) ложна, то A ( e xA ( x )) также будет ложна. Фактически, именно такое понимание смыс ла оператора e было предложено Гильбертом и Бернайсом [8. C . 30]. Существенно, что построенное Гильбертом и Бернайсом исчисление предик атов, содержащее оператор e , не ведет к расширению класса формул, доказуем ых в обычном исчислении предикатов. Точнее, если некоторая формула А, не содержащая символа e , доказуема в гильбертовском e -исчислении, то она будет доказуема и в исчислении предикатов первого по рядка, не содержащем символа e . Иначе говоря, e -исчисление является консер вативным расширением обычного исчисления предикатов. Исследования e -оп ератора В. А. Смирновым позволили р аспространить полученные школой Гильберта результаты на исчисления ин ых типов и на интуиционистскую логику. Эти новые, далеко идущие обобщени я первоначально были изложены в седьмой, заключительной главе книги [16]. В дальнейшем В. А. Смирнов неоднократно обращался к проблематике e -исчислений, развивая и уточняя предложенный им подход. Нас здесь будет интересовать, в первую очередь, сформулированное В. А. Смирновым несеквенциальное нат уральное исчисление предикатов второго типа, предполагающее наличие п рямых правил удаления для каждого логического знака, в том числе для ква нтора существования [16. C . 217]. Введени е такого правила для квантора существования порождает проблему, связан ную с обеспечением логического следования. Такого рода проблема возник ает и в случае прямого правила введения квантора всеобщности. Переход (п ри линейном способе записи) А(х) ? " х А(х) нарушает логическое следование: А(х) может оказаться истинным при как ом-то конкретном значении х, тогда как утверждение " хА(х) окажется ложным. Однако общезначимость формулы А(х) в каком-либо универсуме рассуждений г арантирует общезначимость и формулы " хА(х) в том же универсуме. С квантором существования дело обстоит сложнее. Прямое правило удалени я квантора существования $ хА(х) ? А ( t ) не воспроизводит отношение логического следования и в том случае, ког да формула $ хА(х) является универсально общезначимой. Например, формула $ х(Р(х) ® " уР(у)) универсально общезна чима, но формула (Р( t ) ® " уР(у)) не общез начима. Неформальное доказательство общезначимости первой формулы зак лючается в следующем простом рассуждении. Свойство Р(х) выполняется либо для всех объектов универсума, либо не для всех. В первом случае в качестве индивида, существование которого утверждается, возьмем произвольный о бъект универсума, скажем, b . Поскольку Р( b ) истинно и " уР(у) истинно, импликац ия также Р( b ) ® " уР(у) истинна, а вмест е с ней истинна и формула $ х(Р(х) ® " уР (у)). Например, в универсуме людей истинно утверждение “Все люди смертны”. Отсюда истинно “Если Сократ смертен, то и все смертны” и, следовательно, и стинно “Существует такой человек, что если он смертен, то и все смертны”. Е сли же свойство Р(х) выполняется не для всех индивидов рассматриваемой о бласти, то в качестве объекта, существование которого утверждается, возь мем любой из тех индивидов, который не удовлетворяет свойству Р(х). Наприм ер, пусть Р(х) означает “Добрый(х)”. Но не все люди добры. Так, маркиз де Сад не является добрым. Отсюда импликация “Если уж и маркиз де Сад добр, то тогда все добры” будет истинна в силу ложности антецедента. Следовательно, ист инно экзистенциальное обобщение “Существует такой человек, что если он добр, то все добры”. Решить задачу формулировки прямого правила удаления квантора существо вания можно с помощью e -символа. Примем правило $ хА(х) ? А( e хА(х)), где А( e хА(х)) есть результат замены каждого своб одного вхождения переменной х в формуле А(х) на выражение e хА(х). Такое прав ило, учитывая сказанное выше о семантике выражений с e -символом, воспроиз водит отношение логического следования. Истинность посылки $ хА(х) гаран тирует истинность заключения А( e хА(х)) [13. C . 139-140]. В. А. Смирнов построи л и исследовал различные классические и интуиционистские варианты нат урального e -исчисления с прямыми правилами введения и удаления логическ их знаков. При этом более ранний интуиционистский вариант основывался н а требовании, чтобы e -термы не входили в устраняемые допущения и в заключе ние вывода [16, гл. 7]. Впоследствии он применил иной, более элегантный подход, исп ользующий введение в систему предиката существования [17]. Таким образом, удалось рассмотреть с единых позиций и класс ическую, и интуиционистскую логики предикатов, представив их в виде e -исч ислений натурального вывода второго типа. В данной работе будет показано, что трудности, связанные с принятием пря мого правила удаления квантора существования, появляются вновь, если по пытаться распространить его на область существенно неконструктивных р ассуждений. Прежде всего поясним на примерах, что имеется в виду под неко нструктивными рассуждениями. Всем известна загадочная история человек а по имени Каспар Гаузер. Тайна его происхождения так и осталась нераскр ытой. Кто были его родители? Несомненно, что таковые существовали, поскол ьку каждый человек имеет родителей. Зафиксируем это в символической фор ме: " у $ хР(х,у), где Р(х,у) читается “х родитель у”. Представим себе, однако, что следы существования родителей Каспара Гаузера начисто исчезли, что их н ет в сам o м существующем в настоящее время универсуме. Заметим, что мы не у тверждаем, что следы действительно исчезли. Предположим , что они исчезл и. В таком предположении нет ничего невероятного. Более того, в трудах ист ориков нередко можно встретить аналогичные утверждения о безвозвратно й утрате источников и следов некоторых исторических событий. В рассматр иваемой ситуации мы располагаем конечным множеством людей, которые мог ли бы быть родителями Каспара Гаузера. Претенденты на эту роль известны. Так, в одной из версий родителями Каспара Гаузера были герцог Баденский Карл и его жена Стефания де Богарне, удочеренная в свое время Наполеоном. Согласно еще одной гипотезе, Каспар Гаузер родился в семье простолюдино в Блохманнов [6, C . 334-340]. Но при отсутств ии следов ни одно из утверждений вида Р( b , КГ), где b – им я конкретного претендента и Кà – имя Каспар Гаузер, не может быть верифи цировано в принципе. Хотя, конечно, многие люди (например, наши современни ки или далекие предки) заведомо не могли быть родителями Каспара Гаузера , так что если “а” вЂ“ имя такого человека, то истинно O Р(а, КГ). Не имея возможности приписать таким утверждениям, как Р( b , КГ), значение “истинно” или “ложно”, будем оценивать их при по мощи третьего истинностного значения “неопределенно”. Предшествующие рассуждения позволяют заключить, что " х(нР(х, КГ) U O Р(х, КГ)). Вместе с тем, несомненно " у $ хР(х,у). Снимая квантор общности в последнем предложен ии на имя “Каспар Гаузер”, получаем: $ хР(х, КГ). Попытавш ись применить правило прямого удаления квантора существования, приход им к Р( e хР(х, КГ), КГ). Теперь в предлож ении " х(нР(х, КГ) U O Р(х, КГ)) снимем квантор общности на e -терм e хР(х, КГ): нР( e хР(х, КГ), КГ) U O Р( e хР(х, КГ), КГ). Поскольку некоторый человек, являющийся родителе м Каспара Гаузера, не может не быть его родителем, последний дизъюнктивн ый член должен быть оценен как ложный. Следовательно, истинно нР( e хР(х, КГ), КГ). Но предложения Р( e хР(х, КГ), КГ) и нР( e хР(х, КГ), КГ) не могут быть вместе истинными! Возникшая коллизия является результатом принятия правила прямого удал ения квантора существования. Ситуация в действительности носит не част ный характер, а имеет отношение к целому пласту реальных рассуждений в о быденной жизни и науке. Что касается науки, то речь идет о дисциплинах, кот орые (следуя терминологии В. Виндельбанда) можно назв ать идиографическими в противоположность номотетическим. Идеалом наук и является стремление к точности. Но как эту точность понимать? Не всякие представления о точности оправданы с теоретической и практической точ ек зрения. Например, представление о том, что любой феномен допускает стр огое описание на языке чисел, в настоящее время уже не находит столько пр иверженцев, как это было раньше. В логике стремление к достижению больше й строгости нашло выражение в требовании конструктивности рассуждений . Даже их формализация здесь не является решающим моментом. Конструктивность в интересующем нас аспекте связана с особой трактовк ой утверждений с квантором существования и дизъюнкцией [2] . Классическог о доказательства формул вида $ хА(х) и (А U В) здесь недостаточно. Неконструктивность классической логи ки легче всего продемонстрировать на примере закона исключенного трет ьего. В классической логике принимается, что формула А U O А истинна при любом суждении А , причем А л ибо истинно (тогда O А ложно), либо ложно (тогда истинно O А). Однако классичес кая логика далеко не всегда позволяет получить ответ на вопрос, какое им енно суждение истинно – само А или его отрицание. Несмотря на то, что имею тся существенные разногласия в подходах к анализу понятия конструктив ности, нашедшие выражение в создании различных систем конструктивных л огик, общим остается требование считать дизъюнкцию А U В доказанной лишь в том случае, если предъ явлено доказательство по крайней мере одного из членов дизъюнкции. Еще о дин источник неконструктивности классической логики связан с кванторо м существования. Доказательство высказывания $ хА(х) с использованием кл ассической логики может содержать неопределенность в отношении того о бъекта, существование которого утверждается. Речь идет о так называемых “чистых теоремах существования”, из доказательства которых невозможно извлечь информацию о способах эффективного построения искомого объек та. В конструктивных рассуждениях (например, в интуиционистской логике) нал ичие доказательства формулы вида (А U В) означает, что мы располагаем доказательством по крайней ме ре одного из ее членов (свойство дизъюнктивности), а утверждение вида $ хА( х) считается доказанным лишь при условии, что имеется терм t , для которого доказано суждение А( t ) (свойство экзистенциаль ности) [10]. Хотя классическая логика не удовлетворяет н азванным свойствам, любую основанную на ней теорию Т всегда можно пополнить таким образом, чтобы расширенная теория Т ? была дизъюнктивной и экзистенциальной. Правда, само такое расширение осуществляется неконструктивным образом и потому интуицио нистски неприемлемо. В существенно неконструктивных рассуждениях в ус ловиях неопределенности указанное расширение в общем случае осуществи ть невозможно в принципе. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, когда некон структивная со стандартной точки зрения классическая логика оказывает ся слишком конструктивной! Как было показано выше, доказательство (в рассмотренном примере со ссылк ой на эмпирический закон) утверждений о существовании некоторых объект ов не означает, что у нас имеется возможность предъявить эти объекты, даж е если область рассуждений охватывает только конечное число индивидов. Последнее замечание также демонстрирует необычность ситуации, посколь ку считается несомненным, что коль скоро задано конечное множество объе ктов K , то тем самым заданы и все подмножества множест ва K и его декартова произведения K ? K , представляющие соответственно всевозможные свойс тва и бинарные отношения на K . Ясно, в частности, что сво йство “Родитель(х, КГ)” является подмножеством конеч ного множества людей, обстоятельства и время жизни которых не исключали возможности оказаться в роли одного из родителей Каспара Гаузера. Однак о, как мы убедились, свойство “Родитель(х, КГ)” нельзя з адать предъявлением двух его элементов. Поэтому стремление к строгости, выраженное идеалом конструктивности, оказывается нереализуемым. Предс тавление о реальности как о вполне определенном образовании наталкива ется на ограничения, поставленные самой природой вещей. Тем не менее, это не означает, что не следует стремиться к точности и строгости рассуждени й в существенно неконструктивном случае. Просто идеал строгости не долж ен быть связан только с конструктивностью. Требуемая строгость, на наш в згляд, может быть достигнута за счет применения формальных методов анал иза. В условиях неопределенности свойство “Родитель(х, КГ )” не может быть представлено одним подмножеством универсума людей Л. Есть два сходных подмножества этого универсума Р и Р*, в одно из которых попадут аристократы герцог Карл и его жена, а в другое – простолюдины Блохманны. Все остальные претенденты также должны быть разведены по Р и Р*. Если бы остались реальные следы единственной пары род ителей a , b , то необходимо было бы положить Р = Р* = a , b . Если бы следы оставил один из родителей, но не друг ой (допустим, рассматриваемому свойству удовлетворяет b ), то отсюда вытекало бы, что Р ? Р*, но Р C Р* = b . В анализируемом примере, по предполож ению, нет ни того, ни другого. Остается утверждать, что Р ? ? , Р* ? ? , но при этом Р C Р* = ? . Высказанные соображения можно обобщить следующим образом. Если для дву х сходных свойств А(х) и А*(х) верно, что $ х(А(х) & А*(х)), то можно ввести константу с , для которой будет верно (А( с ) & А*( с )). Назовем такую константу опр еделенной в отношении свойств А(х) и А*(х). Если же O$ х(А(х) & А*(х)), то будем говорить, что любая константа является н еопределенной в отношении свойства А(х) и свойства А*(х)). Теории с неопределенностью оказываются неконструктивными (или антикон структивными ) в следующем смысле. Распространим естественным образом п онятие модели теории на теории с неопределенностью: н- моделью теории Тн называется структура, в которой все предложения Тн определенно истинны. Предложение 11 . Существует теория Тн такая, что а) (P( с ) U O P( с )) I T, б) $ xP(x) I T, в) Tн имеет н-модель, но при этом ни теория Тн E P( a ) , ни теори я Тн E O P( a ) не имеют н-моделей, какова бы ни была индивидная константа a . Проанализированная выше история с Каспаром Гаузером подводит к постро ению примера требуемой Тн теории. Ведь какую бы индивидную константу a мы ни взяли, предложение Р( a , КГ) не будет определенно исти нным, но может быть либо определенно ложным, либо неопределенным. С форма льной точки зрения, для получения искомого результата требуется еще иск лючить определенную ложность. Пусть Lн = P, с , a , где Р– одноместный предикатный символ, а с и a – индивидные константы. Положим Мн = < a,b , F>, F( с ) = a, F(P) = a , F(P*) = b . Ясно, что Мн – н- модель теории Тн = (P с U O P с ), $ xPx, " xнPx . Но ни Т E P( a ) , ни T E O P( a ) н-моделей не имеют, как бы мы ни определяли значение F( a ) в произвольной структуре Мн для языка Lн. Действительно, определенная истинность предложения " xнPx в модели Мн = теории Тн вл ечет, что формула нP( a ) определенно истинна и, значит, н O Р( a ) также определенн о истинна. Отсюда как Р( a ), так и O Р( a ) являются неопределенными в любой н-моде ли теории Тн, что и требовалось доказать. Итак, рассмотренная теория Тн не может быть расширен а таким образом, чтобы полученные расширения удовлетворяли свойствам д изъюнктивности и экзистенциальности в трехзначной семантике неопреде ленности. Теперь правило прямого удаления квантора существования $ хА(х) ? А( e хА(х)), принимаемое в натуральны х e -исчислениях, уже не воспроизводит отношения логического следования при естественном расширении понимания семантики выражений с e -термом. В самом деле, формула вида $ хА(х) теории Тн определенно и стинна в построенной н-модели, однако независимо от того, какой индивид б удет взят в качестве значения e -выражения e хА(х), утверждение А( e хА(х)) уже не будет определенно истинным, что нарушает общепринятое требование “из и стинных посылок – истинное заключение”. Построенная теория Тн, если посмотреть на нее с позиц ий классической двухзначной семантики, никакими интересными особеннос тями не обладает. И, разумеется, эта теория в данной семантике может быть р асширена таким образом, чтобы появились свойства дизъюнктивности и экз истенциальности. Но одно не противоречит другому. С метаязыковой точки зрения суть здесь в том, что в рассматриваемом случае нельзя ввести определенную констант у a . Но ввести неопределенную , конечно, можно. Однако классическая логика не проводит различия между определенными и неопределенными ситуациями . Зато это позволяет делать логика неопределенности. Совмещение в одном ( фактически, классическом) синтаксическом аппарате возможностей двух р азноплановых семантик (классической и неклассической) позволяет удерж ать приятные метасвойства классической логики и, вместе с тем, промодели ровать рассуждения в условиях неопределенности. Список литературы Анисов А. М. Время и компьютер. Негеометрический образ времени. М., 1991. Анисов А. М . Семантика неопределен ности // Логические исследования. В ып. 4. М., 1997. Анисов А. М. Аксиоматическое исчис ление неопределенности // Логичес кие исследования. Вып. 7. М., 2000. Анисов А. М. Темпоральный универсу м и его познание. М., 2000. Аристотель . Соч.: в 4 т. М., 1976-1984. Т. 2. С. 99-102. Великие тайны прошлого // Reader's Digest, 1996. Гильберт Д. , Бернайс П . Основания м атематики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979. Гильберт Д. , Бернайс П . Основания математики. Теория доказательств. М., 1982. Гранатовский Э. А . Послесловие // Бойс М . Зороас трийцы. Верования и обычаи. М., 1988. Драгалин А. Г . Математ ический интуиционизм. М., 1979. Карпенко А. С . Фатализ м и случайность будущего: Логический анализ. М., 1990. Лейстнер Л. , Буйташ П. Х имия в криминалистике. M., 1990. Логика и компьютер. Вып. 3. Доказательство и его поиск. М ., 1996. Лукасевич Я. О детерминизме // Логические исследования. Вып. 2. М., 1993. Молчанов Ю. Б. Проблема времени в с овременной науке. М., 1990. Смирнов В. А . Формальный вывод и ло гические исчисления. М., 1972. Смирнов В. А . Поиск доказательств в натуральном интуиционистском исчислении предикатов с e -символом и пре дикатом существования // Логическ ие исследования. Вып. 3. M., 1995.

Приложенные файлы


Добавить комментарий