Математическая регата для учащихся 8 классов

Городская математическая регата (8 класс)

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)
1. Расставьте во всех клетках квадрата 4х4 клетки плюсы и минусы так, чтобы у любого минуса в соседних по сторонам клетках было ровно три плюса, а у любого плюса в соседних по сторонам клетках был ровно один минус.
2. Средний рост восьми баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее количество из этих игроков может быть ниже, чем 191 см?
3. Найдите все такие двузначные числа 13 EMBED Equation.3 1415 для каждого из которых истинны ровно три из следующих шести утверждений: 1) 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3; 4) 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 15;
2) 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 5; 5) 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 25;
3) 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 9; 6) 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 45.

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)
1. Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 2008 орехов?
2. Катя и ее друзья встали по кругу так, что соседи каждого ребенка либо оба мальчики, либо оба девочки. Мальчиков среди Катиных друзей 17 человек. А сколько девочек среди Катиных друзей?
3. Найдите последнюю цифру числа 13 EMBED Equation.3 1415

Третий тур (15 минут; каждая задача – 8 баллов)
1. Все акции компаний «Карабас» и «Барабас» вместе стоят 90 золотых монет. У Буратино есть 25% акций компании «Карабас» и 75% акций компании «Барабас» общей стоимостью 30 золотых монет. Найдите стоимость всех акций каждой компании.
2. На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на его место произведение его цифр, увеличенное на 12. Что окажется на доске через час? Не забудь обосновать свой ответ.
3. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. Аналогичную операцию проделали еще три раза. В результате на прямой оказалось 3 265 точек. Сколько точек было на прямой первоначально?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)
1. Прямоугольник ABCD разрезан на квадраты так, как показано на
рисунке. Известно, что сторона AB равна 32 см. Найдите длину
стороны AD.
2. Сколько существует различных телефонных номеров, если считать,
что:
1) каждый номер содержит не менее 3 цифр и не более 5 цифр;
2) номер не может начинаться с нуля;
3) цифры номера различны.
(Для каждого номера должны выполняться все эти требования.)
3. Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415три последовательных целых числа 13 EMBED Equation.3 1415 натуральные числа13 EMBED Equation.3 1415 Найдите эти числа.













Решения задач

Первый тур
+
+
-
+

-
+
+
+

+
+
+
-

+
-
+
+

1.





2. Ответ: семь.
Например, если один баскетболист имеет рост 230 см, то рост каждого из остальных может быть 190 см, так как 13 EMBED Equation.3 1415
3. Ответ: 15, 30, 60.
Рассмотрим следующие случаи:
1) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 45. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 15, на 9, на 5, на 3. Следовательно, имеем более трех истинных утверждений, что противоречит условию задачи. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 не делится на 45.
2) Если 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 25, то 13 EMBED Equation.3 1415 делится и на 5. Если при этом 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3, то оно кратно и числу 15, что противоречит уже доказанному; если же 13 EMBED Equation.3 1415 в рассматриваемом случае не делится на 3, то оно не кратно ни одному из оставшихся чисел, что противоречит условию. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 не делится на 25.
3) Если 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 15, то оно кратно числам 3 и 5, то есть, имеем уже три истинных утверждения. Следовательно, искомые числа, должны быть кратны числу 15, но не кратны числам 9 и 25.
Значит, подходят числа 15, 30, 60.
Второй тур
1. Ответ: нет.
Заметим, что в каждой паре суммарное число орехов должно делиться на 3, значит, и общее число орехов должно делиться на 3 и не может быть равно 2008, т. к. 2008 не делится на 3.
2. Ответ: 16 девочек.
Мальчиков - ровно 17 человек, одна девочка точно есть – Катя. Тогда, размещая детей по кругу, получим, что они стоят через одного. Значит, всего 17 девочек, но Катю не учитываем.
3. Ответ: 4.
Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, сумма 13 EMBED Equation.3 1415 оканчивается цифрой 9, так как 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно, что сумма 13 EMBED Equation.3 1415 также оканчивается цифрой 9. Рассуждая аналогично, получим, что сумма 13 EMBED Equation.3 1415 оканчивается цифрой 0, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда сумма 13 EMBED Equation.3 1415 оканчивается цифрой 4, т. к. 13 EMBED Equation.3 1415

Третий тур
1. Ответ : все акции компании «Карабас» стоят 75 золотых монет, а компании «Барабас» - 15 золотых монет.
Из условия следует, что 100% акций компании «Карабас» и 300% акций компании «Барабас» стоят 120 монет. Значит, 200% акций компании «Барабас» стоят 120-90=30 золотых монет. Тогда все акции компании «Барабас» стоят 15 монет, а все акции компании «Карабас»: 90-15=75 монет.
2. Ответ : 16.
Посмотрим, какие числа появятся на доске в течение нескольких первых минут: 23, 18, 20, 12, 14, 16, 18, Мы видим, что, начиная со второй минуты, числа повторяются с периодом 5. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 то через час на доске будет записано пятое число из (двенадцатого) периода, то есть 16.
3. Ответ : 205 точек.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- первоначальное количество точек. Тогда после проведения указанной операции в первый раз точек станет 13 EMBED Equation.3 1415 после проведения указанной операции во второй раз точек будет 13 EMBED Equation.3 1415 В следующий раз точек станет 13 EMBED Equation.3 1415 а в итоге окажется 13 EMBED Equation.3 1415 Решая уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 получим, что 13 EMBED Equation.3 1415
Четвертый тур
1. Ответ : 29 см.
Обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 стороны наименьшего и второго
по величине квадратов. Выразим стороны всех квадратов через 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решив уравнение 13 EMBED Equation.3 1415см, получаем 13 EMBED Equation.3 1415см, 13 EMBED Equation.3 1415см, после
чего все стороны квадратов определяются однозначно (см. рисунок).
2. Ответ : 32 400.
Найдем сначала количество трехзначных номеров,
удовлетворяющих условию задачи: 13 EMBED Equation.3 1415 (на первое место в записи числа «претендуют» 9 цифр, на второе – 9 цифр, на третье – 8 цифр).
Количество четырехзначных номеров, удовлетворяющих условию задачи: 13 EMBED Equation.3 1415
Количество пятизначных номеров, удовлетворяющих условию задачи: 13 EMBED Equation.3 1415
Всего номеров, удовлетворяющих условию задачи: 13 EMBED Equation.3 1415
3. Ответ : 2007, 2008, 2009.
Найдем сумму этих чисел, получим: 13 EMBED Equation.3 1415 Пусть 13 EMBED Equation.3 1415искомые числа, расположенные в порядке возрастания. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 Решим уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415 Получим, что 13 EMBED Equation.3 1415Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
D

A

B

C

C

B

A

D

x+2y

2x+2y

y

y

x

2y

3y-x

3y-x



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий