Построение графиков функций путем преобразования


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Построение графиков функцийпутем преобразования Цели урока: Рассмотреть способы преобразования графиков функций.Проверить знания учащихся. Преобразования:y = f(x – a)y = f(x) + by = - f(x)y = f(-x)y = kf(x), где k>0y = f(kx), где k>0y = |f(x)|y = f(|x|) y=x2 y0 x0 Запишите уравнение параболы с координатами вершины ( ) x0;y0 Пусть дан график функции y = f(x). Как по отношению к нему будет расположен график функции y = f(x – a), a > 0 ? Параллельный перенос вдоль оси абсцисс. х0 у у=f(х) у=f(х-a) M0 (х0, у0) M1(х0 - а, у0) х0 - a х y0 Для каждой точка М0(х0; у0), принадлежащей графику функции у=f(х-a), точка М1(х0 - а; у0), смещенная по сравнению с точкой М0(х0; у0) на а единиц влево, будет принадлежать графику функции у=f(х). В самом деле, это означает, что у0 = f(x0 – a). Подобным образом легко установить, что если точка М2(х2;у2), принадлежит графику функции у=f(х), то точка М3(х2 + а; у0), смещенная по сравнению с точкой М2(х2; у2) на а единиц вправо, принадлежит графику функции у=f(х - а). В самом деле, это означает, что у2= f(x2). График функции y = f (x - a), a > 0, получается из графика функции y = f(x) сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на а единиц вправо. y=f(x) y=f(x - 2) (a = 2) y=f(x) Ясно, что если а<0, то график функции y = f (x - a) получается из графика функции y = f(x) сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на а единиц влево. y=f(x) y=f(x+1) (a = -1) y=f(x) Пример 1. График функции y = (x + 4)2 получается из графика функции y = x2 сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на 4 единицы влево. y=x2 y=(x+4)2 y=x2 Пример 2. График функции получается из графика функции сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на 2 единицы вправо. 2 - = x y Параллельный перенос вдоль оси ординат. Дан график функции y = f(x). Как по отношению к нему будет расположен график функции y = f(x)+b ? Пусть требуется построить график функции y=f(x) + b при b > 0. Легко заметить, что ординаты этого графика для каждого значения x на b единиц больше соответствующих ординат графика функции y=f(x). Следовательно, график функции y=f(x) + b при b > 0 можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вверх. Аналогично, ординаты графика функции y = f(x) – b при b > 0 для всех значений x на b единиц меньше соответствующих ординат графика функции y=f(x). Следовательно, график функции y=f(x) – b при b > 0 можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вниз. Итак, при параллельном переносе вдоль оси ординат график функции y = f(x) + b получается из графика функции y = f(x) при b > 0 - смещением на b единиц вверх, а при b < 0 - смещением на |b| единиц вниз. y =3x y=3x - 1 Пример 1. Чтобы построить график функции y=3x - 1, сначала строим график функции y =3x, а затем сдвигаем его вниз на единицу. Пример 2. Чтобы построить график функции , сначала строим график функции , а затем сдвигаем его вверх на единицу. Вопрос 1. График функции получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу. y=x2 1. 2. 3. 4. y=x2 y=(x-4)2 y=x2 - 4 y=(x+4)2 y=x2+ 4 Вопрос 2. График функции получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу. 1. 2. 3. 4. Вопрос 3. График функции получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу. y=x2 1. 2. 3. 4. y=x2 Вопрос 4. График функции получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу. y=x3 1. 2. 3. 4. y=x3 Вопрос 5. График функции получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу. 1. 2. 3. 4. Деформация (растяжение и сжатие) графика. Рассмотрим функцию вида y=A∙f(x), где A > 0. Можно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в A раз больше ординат функции y=f(x) при A>1 или в А раз меньше ординат графика функции y = f(x) при 0 < A < 1. Таким образом, для построения графика функции y= A∙f(x), следует построить график функции y=f(x) и увеличить его ординаты в A раз при A>1 (растянуть график вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в А раз при 0 < A<1 (сжать график вдоль оси ординат) . y = f(x) Пример 1. График функции y = 2·f(x) получается из графика функции y = f(x) «растяжением» вдоль оси ординат в 2 раза. Пример 2. График функции y(x) = 3 cos x получается из графика функции y =cos x «растяжением» вдоль оси ординат в 3 раза. Пример 3. График функции получается из графика функции y = f(x) «сжатием» вдоль оси ординат в 2 раза . Пример 4. График функции получается из графика функции «сжатием» вдоль оси ординат в 4 раза. Деформация (растяжение и сжатие) графика. График функции у = f(ω·x), ω > 0 , получается из графика функции у = f(x), «сжатием» графика вдоль оси абсцисс в ω раз при ω > 1 и «растяжением» графика вдоль оси абсцисс в раз при 0 < ω < 1. y=sin x y=sin 2x Пример 1. График функции y =sin 2x получается из графика функций y = sin x «сжатием» вдоль оси абсцисс в 2 раза. Пример 2. График функции получается из графика функции y = sin x «растяжением» вдоль оси абсцисс в 2 раза. Замечание y = f(x) y = -f(x) х у Отражение. График функции y = - f(x) получается зеркальным отражением графика функции y = f(x) относительно оси х. Пример График функции y = – (x3 – 5x – 3 ) получается зеркальным отражением графика функции y = x3 – 5x – 3 относительно оси x. y = f(x) х у График функции y = f(-x) получается зеркальным отражением графика функции y = f(x) относительно оси у. y = f(-x) Пример График функции y( – x) получается зеркальным отражением графика функции y(x) относительно оси y. Пусть у(х) = x3 – 5x – 3, тогда y( – x) = – x3 + 5x – 3. График функции y=|f(x)| получается из графика функции y= f(x) следующим образом: а) Часть графика, лежащую над осью x, оставляем без изменения;б) Часть графика, лежащую под осью x, отражаем симметрично относительно оси x. Таким образом, ниже оси Ox графика нет. y = f (x) y=|f(x)| Пример Из графика функции y(x) = x3 – 5x – 3 построим график функции y(x) = │x3 – 5x – 3 │. Построение графика функции y= f (|x|);f(| x |) – четная функция, ее график получится отражением ветви графика функции y = f(x) при x ≥ 0 симметрично относительно оси Оу. Ветвь графика y = f(x) при х < 0 пропадает. y = f (x) у = f(| x |) Пример Пусть у(х) = x2– 5х, тогда у(│х│) = х2 - 5∙│х│. у= х2 - 5∙│х│ Тест Замечание. Нетрудно показать, что если у = f(x) − периодическая функция с периодом Т, то функция у = f(ω·x), ω > 0, является периодической с периодом . В самом деле, так как функция f(x) имеет период Т, то при любом х выполняется равенство f(x + T) = f(x). Положим φ(x)=f(ω·x) ; тогда для любого х получим и, следовательно, функция φ(x) имеет период . Например, функция y = sin2x имеет период , а функция − период . Аверкин Иван Андреевич,учитель физики и математикиМОБУ «Тархановская ООШ»Ичалковского муниципального района Республики Мордовия Список использованной литературы:1. Бахтина Т. П. «Таблетки» и «компрессы» при построении графиков. // Математика в школе. 2000. № 8.2. Игудисман О. С. Математика на устном экзамене. Пособие для поступающих в вузы с повышенными требованиями по математике. ─ М: «Московский Лицей», 1997.3. Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. ─ М: Школа-Пресс, 1997. - 384с. (Cерия «ШАНС» — «Школа Абитуриента: Научись Сам»).

Приложенные файлы


Добавить комментарий