Методы решения С3


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
ЕЖД
ЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ -
УЧЕБНО-НАУЧНО-
ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС»
З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева
МАТЕМАТИКА
ЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ
Рекомендовано ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК»
для использования в учебном процессе
в качестве учебного пособия
для слушателей подготовительных курсов
Орел 2012
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Некоторые обозначения
. Метод замены множителя (МЗМ)
1. Понятие равносильности
2. Принцип монотонности для неравенств
3. Теорема о корне
. Неравенства, содержащие модули
1. Условия ра
вносильности для МЗМ
2. Примеры с решениями
3. Примеры для самостоятельного решения
Ответы
. Иррациональные неравенства
1. Условия равносильности для МЗМ
2. Примеры с решениями
3. Примеры для самостоятельного решения
. Показательные неравенства
1. Условия равносильности для МЗМ
2. Примеры с решениями
3. Примеры для самостоятельного решения
Ответы
. Логарифмические неравенства
1. Условия равносильности для МЗМ
2. Примеры с решениям
3. Примеры для самостоятельного решения
Ответы
. Показательные неравенства с переменным основанием
1. Условия равносильности для МЗМ
2. Примеры с решениями
3. Примеры для самостоятельного решения
Ответы
. Логарифмические
неравенства с переменным основанием
1. Условия равносильности для МЗМ
2. Примеры с решениями
3. Примеры для самостоятельного решения
Ответы
. Использование свойств функций при решении неравенств
1. Использование области опред
еления функций
2. Использование ограниченности функций
2.1. Использование неотрицательности функций
2.2. Метод мини
ксов (метод оценки)
3. Использование монотонности функций
4. Примеры для самостоятельного решения
Ответы
Системы неравенств
1. Примеры с решениями
Примеры для самостоятельного решения
Ответы
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Книга продолжает серию учебных пособий авторов «Матем
тика абитуриенту» и посвящена современным нестандартным мет
дам решения сложных неравенств, основанным на концепции равн
сильности математических высказываний.
Существенным отличием данной работы от имеющихся подо
ных изданий является то, что в ней представлено системное изложение
методов и алгоритмов, позволяющих с помощью условий равносильн
сти сводить решение целых классов сложных неравенств к решению
простых рациональных неравенств классическим мето
м интервалов.
Значительное место в системе представленных алгоритмов отв
дится методу замены множителей (МЗМ) как одному из наиболее э
фективных и доступных методов, который применим к широкому кла
су задач и позволяет достаточно просто рационализировать многие и
рациональные неравенства, неравенства с модулем, показательные
и логарифмические неравенства с постоянным и переменным основ
нием, а также сложные комбинированные неравенства и их системы.
Применение этого метода позволяет во многих случаях знач
тельно уменьшить трудоемкость задачи, избежать длинных выкладок
и ненужных ошибок.
Для каждого из указанных типов неравенств приведены метод
ческие указания и алгоритмы (схемы), а также подробные и обоснова
ные решения задач разных типов и разного уровня сложности, илл
стрирующие оригинальность и эффективность приведенных методов,
позволяющих решать задачи компактно, быстро и просто. В конце ка
дого раздела приведено большое количество заданий для самосто
тельного решения с ответами. Уровень сложности и структура пре
ставленных задач соответствуют заданиям ЕГЭ серии С последних лет.
Один из разделов пособия посвящен нестандартным методам,
опирающимся на такие свойства функций, как области определения и
области значений, неотрицательность, монотонность и ограниче
ность, экстремумы функций, метод «мини-макс
» и другие. Эти м
тоды во многих случаях являются эффективными и существенно
упрощают решение задач.
Следует заметить, что термин «нестандартные методы» прим
нительно к данной работе является в некотором смысле условным
в силу того, что эти методы пока не нашли отражения в школьных
учебниках и школьной практике.
Как показывает многолетний опыт преподавательской деятел
ности авторов, для учащихся имеет существенное значение систем
тизация и удобное структурирование учебного материала в виде
обоснованных схем и алгоритмов, позволяющих единообразно р
шать целые классы задач. В этом случае даже ученики среднего
уровня вполне успешно осваивают эти методы, переводя их для себя
в разряд стандартных. Эту проблему в силу своих скромных возмо
ностей авторы и пытались решать в данной работе.
Представленная в данном пособии методика многократно
апробирована авторами на подготовительных курсах в г. Орле
г. Санкт-Петербурге, а также на лекциях по повышению професс
онального уровня учителей математики г. Орла.
Пособие адресовано, прежде всего, выпускникам средней школы,
слушателям подготовительных курсов для подготовки к ЕГЭ. Вместе
с тем, может быть полезн
учителям математики в качестве дополн
ния к школьному учебнику для работы в классах с углубленным изуч
нием математики и при проведении факультативных заня
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
область определения функции
область значений функции
– знак равносильности;
– знак следствия;
– знак принадлежности;
– знак объединения множеств;
– знак пересечения множеств;
– пустое множество;
– знак сравнения
– знак, обратный знаку
– для всех, для каждого, любой, всякий, каждый;
– знак системы;
– знак совокупности;
множество натуральных чисел;
– область определения неравенства;
– множество, состоящее из элементов

cba
;;
=<>
,,,,
МЕТОД ЗАМЕНЫ МНОЖИТЕЛЯ (МЗМ)
Решение неравенств повышенной сложности, содержащих м
дули, иррациональные, логарифмические, показательные функции
или их комбинацию, стандартными школьными методами часто ок
зывается весьма сложным и громоздким, что вызывает у школьников
определенные трудности.
Одним из эффективных и доступных методов решения таких н
равенств и их систем является метод замены множителя (МЗМ)
[1, 2, 8, 9], базирующийся на концепции равносильности математич
ских высказываний и реализуемый в виде логических схем (алгори
мов) рационализации и алгебраизации, то есть замены иррационал
ных и трансендентных неравенств на равносильные им рациональные
алгебраические неравенства. Решение последних легко осуществл
ется методом интервалов для рациональных функций.
Важно отметить, что метод замены множителя реализуется тол
ко при приведении исходного неравенства к каноническому виду:
(1)
где множители
представляют собой
рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические
функции, функции с модулями и другие; знак сравнения
обозначает
один из знаков >, ≥, <, ≤, =.
Решение неравенства (1) зависит только от знаков входящих в
него сомножителей.
Суть метода замены множителей (МЗМ)
состоит в том, чтобы
с помощью равносильных преобразований заменить каждый множ
,0
)(
)()(
)(
)()(
21


xgxgxg
xfxfxf
.,..
,2,1;
,2,1()()(
knixgиxf
тель
в области его существования
на более простой множитель, в к
нечном счете, рациональный и имеющий те же интервалы знакоп
стоянства (на множитель равного знака).
1.
Понятие равносильности неравенств
Два неравенства
называются
равн
сильными
на множестве
, если множества их решений совпадают.
Замена одного неравенства другим, равносильным данному на
, называется
равносильным преобразованием
на
.
Рассмотрим
некоторые утверждения о равносильности
нер
венств.
1.
2.
Основное правило:
возводить
неравенство
в четную степень
можно только при тех значениях неизвестной, при которых
обе части
неравенства
неотрицательны
.
3.
4.
5.
Вывод:
При условии неизменности знака решаемого нераве
ства множители, принимающие положительные значения, можно
)()()()(
xgxfиxgxf

()(
)()(
12
12
Nn
xgxf
xgxf
,0)(
,0)(
()(
0)(
,0)(
()(
Nn
xg
xf
xgxf
xg
xf
xgxf

()(
)()()()(
Dx
xgxf
xxgxxf
-

.0)(
,0)()(
0)(
()(
0)(
()()()(
xgxf
xgxf
xxgxxf
()
--

.0)(
,0)()(
0)(
()(
0)(
()()()(
xgxf
xgxf
xxgxxf
просто исключить, а множители, принимающие отрицательные зн
чения – заменить на (–1
Следует заметить, что основная часть методов замены множит
ля для различных классов неравенств обусловлена
принципом мон
тонности функций
, входящих в неравенства.
2.
Принцип монотонности для неравенств
Пусть функция
определена и строго монотонна на пром
жутке
.
1. Если функция
возрастает
на промежутке
, то
.
2. Если функция
убывает
на промежутке
3.
Теорема о корне
1. Если в уравнении
функция
непреры
на и строго монотонна на множестве
, то уравнение имеет на
не
более одного корня
.
2. Если в уравнении
функция
непрерывна и
строго
возрастает
, а функция
непрерывна и строго
убывает
на множестве
, то уравнение имеет на
не более одного корня
.
)(
tfy
()()
-
-
.)(
,)(
,0)()(
0)()(
Mxt
Mxt
xtxt
xtfxtf
)(
tfy
()()
()
--
-
.)(
,)(
,0)()(
0)()(
Mxt
Mxt
xtxt
xtfxtf
НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛИ
1.
Условия равносильности для МЗМ
1.
2.
Вывод:
3.
4.
5.
2.
Примеры с решениями
Пример 1.
Решите неравенство
.
Решение.
. (1)
Применим
метод замены множителя
(МЗМ).

.
Ответ:
.
Пример 2.
Решите неравенство
.
.0)(0)(

xfxf
-
0)()()()()()(
xgxfxgxfxgxf
02527
---
xxxx
()
)(
-----
025272527
xxxxxxxx
()
()
()()
01130224
----
xxx
xxx

;1
;0

;1
;0
45
-
xx
()()
.0)()()()(

xgxfxgxf
()
()()
.0)()()()(0)(

--
xgxfxgxf
xgxf
()
()
()()
.0)()()()()(0)()(

--
xxgxfxgxf
xxgxf
-
0)()()()(
xgxfxgxf
()()

.0)()()()(
,0)(
xgxfxgxf
xg
-
0)()()()(
xgxfxgxf
()()
>-

()(0)()(
,0)(
0)()()()(
,0)(
gDfDxxgxf
xg
xgxfxgxf
xg
2527
--
xxxx
Решение.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 3.
Решите неравенство
.
Решение.
Приведем исходное неравенство к каноническому виду.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 4.
Решите неравенство
Решение.
-
---
-
-
.04
,0445
01
45
xxx
xx
)(
()()
-
--
-
----
.2,2
,05285
2,2
,0445445
xx
xxx
xx
xxxxxx

--
26;

--
26;
03
18
35
--
--

--
---
--
01
18
03
18
35
[][

;5,26,1;0
[][

;5,26,1;0
7425
2014
---
xx
xx
()()
----
07425
27
xx
xx
()
()
()
----------
05745720
742527
xx
xxxx
()
()
04257
---
xx
()()()()()
----
042425757
xxxx
()()()
062
--
xxx

.
Ответ:
.
Пример 5.
Решите неравенство
.
Решение.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 6.
Решите неравенство
.
Решение.
Применим МЗМ.
()
()()
()()
---
---
--
--

--
---
,0
8181
3131
,0
81
31
18
1853
xx
xx
()()
()()
-
-
.3
,0
79
24
xx
xx
733
1325
----
---
xxxx
xx

----
---
733
1325
xxxx
xx

9;432;7
--

9;432;7
--
113
412
--
--
xx
xx
)(
()()

----
--

--
--
113113
412412
113
412
xxxx
xxxx
xx
xx
()()
()

-
,0
15
xx
xx
()()
--
;11;05;
()()
--
;11;05;

.
Ответ:
.
Пример 7.
Решите неравенство
Решение.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 8.
Решите неравенство
.
Решение.
)(
)(

-------
----
733
733
13251325
xxxxxxxx
xxxx
()()
()
()()
()()()
241
3812
42
1010
3812
--
--

--
--
xxx
xx
xxx
xx
443865
---
xxxx
----
1212
3865
xxxx
-------
1212
3865
1212
3865
xxxxxxxx
][
)()
-
;21;5,0
,0;4
][
)()
-
;21;5,0
,0;4
442
5112
--
---
xx

---
-----

--
---
442442
51125112
442
5112
xxxx
xx
()
()
()

-
--

-
---
02
,0
82
612
282
412612
xx
xx
xxxx
xx
()()
()()
()()
()()
-
-
-
-
-
---
0;2
,0
24
5272
0;2
,0
8282
612612
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
5,3;25,2;4
--
.
Ответ:
.
Пример 9.
Решите неравенство
.
Решение.
(1)
Так как
, то применим к нераве
ству (1) МЗМ.
(2)
Так как
, то
.
Ответ:
.
Пример 10.
Решите неравенство
.
()
----
0294
04
62
xxxx
xxxx
()
()
()
()
()
()
-----
0142
021425
xx
xxxx
()
()

--
32
822
xxxx
)(
()
()

-

-----
32
844
32
822822
xx
xxxxxxxx
5,1;4
32
-
5,1;4
()
()
()
7268
33
----
-
xx
()()

[]

,0;
,02
01414
,2
,2
014
,2
--
-
-=
-
xx

[]

,0;
,02
--
43
5232
22
----
-----
xxxx
xxxx
()
43
5232
22
----
---
xxxx
xxxx
()
0,02
052
<>=>
DaRx
xx
()
()
()
)(

-------
-----
43
143
52325232
22
22
xxxxxxxx
xxxxxxxx
()
()
()
()
32542
222822
--
---
xxx
xxxxxxxx
()()()
Rx
xx
xx
xx
>->>
0542,022,082
Решение.
1)
, (1)
где
.
2) Заменим функцию
f(x)
на функцию равного знака.
Пусть
, тогда
.
3)

.
Ответ:
.
Пример 11.
Решите неравенство
.
Решение.
1) Преобразуем левую часть неравенства.
.
()
()
()
()
()
()
7268
7268
33
----

----
-
xf
xx
()()
33
-=
xxxf
)()
;32;13;7
--
()()
()
45
-
---
xx
xx
()()
()()
()()
41
41
14
xx
xx
xx
xx
--
--
--
=---
0,3
=
ttx
()
33
txx
==
()
()()
-
-

,045
,0
tt
tt
xf
043
,04
-
-
()
()
()

----
-
7268
43
xx
()()
()()
()()

------
-
72726868
4343
xxxx
xx
()()
()()
()()
()()
()()()()
332
71
592
71
---
-

---
-
xxxx
xx
xxxx
xx
)()
;32;13;7
--
2) Тогда исходное неравенство примет вид:
где
корни квадратного трехчлена
.

.
Ответ:
.
Пример 12.
Решите неравенство
.
Решение.
Применим к исходному неравенству МЗМ.

.
Ответ:
.
()()
()()

-

--
--
4;1
,096
41
41
xx
xx
xxxx
xx
()()
()()()

--

-
,4;1
,03
4;1
,09696
xx
xxxxx
xx
xxxx
()(
()
41;12;35;
-----
()(
()
41;12;35;
-----
()
96
-
xx
233;233
-=--=

)()
--
;44;3;
xx

()
-----
;44;2333233;
()
()
5681
264
---
-----
xxx
xxxxx
)(
()()
()()
()
()

-----
------
518181
26264
84
xxxx
xxxxxxxxxx
()()
()
()()
()()()()

---
--
551179
42
xxxxxx
xxxxx
()()()()()
()()()()()()
()()
()()()()

-
-

---
----
5;3
,0
5113
24
551133
23445
xx
xxxx
xx
xxxxxx
xxxxx
Пример 13.
Решите неравенство
.
Решение.
Умножим обе части неравенства на функцию
.

.
Ответ:
.
Пример 14.
Решите неравенство
.
Решение.

Пусть
,
.
Тогда исходное неравенство примет вид
(1)
13
13
57
-
--
--
xx
xx
xx
()
()
Rxxg
xx
xx
xg
>
-
-
0,
13
57
()
()
()
63695495
-----=
xxxxxxxf
()
()
xg
xf
()()
()()
-
--
--
57
13
57
xx
xx
xx
()()
()()
()
()
-
--
--
-
----
----
57
224
22
57
1313
5757
xx
xx
xxxx
xxxx
<--
-
-<

-
0752
,5
,1
5753
,05
,022
xx
xxx
)(
)()()
<
-
<--
-
01
,5
,1
07
27
,5
,1
xx
xxxx
()()
1;55;
----
()()
1;55;
----
()
()
72
63695495
-
-----
xx
xxxxxx
()
()()
532
72
-=-=
xxxxxg
Заменим функцию
f(x)
на функцию равно
го знака.
Пусть
,
.
(2)
1)
2)
3)
, где
5) Тогда
.
.

.
Ответ:
.
()
22
9595,0,95
-=-=-=
xxxxttxxt
()
66,0,6
-=-=-=
xxzzxz
1,
=-=
()()()()()
13
----
xxxxxx
xf
()
()()()()
()()
532
13
-
----
xx
xxxxxx
][
[]
;35,1;1;5
xx
-
[]
1;35,1;1
1;5
--
()
()()

--

-

0,0
,03
0,0
,034
zt
ztzt
zt
xf
------
06395695
xxxxxx
)(
)(
--
------
395
395695695
xxx
xxxxxxxxx
()()()()
.092
834
-----
xxxxxxxx
0,01
<>=>-
DaRx
xx
0,01
<>=>-
DaRx
xx
()()
1334
--=-
xxxx
()()
92
xxxxxx
--=--
3.
Примеры для самостоятельного решения
Решите неравенства:

.

.

.

.

.

.

.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
363616
xx
--
726
--
xxxx
312234
--<-
xx
xx
02
24
--
21
11
-
-
xx
332
112
--
--
xx
xx
222
121
--
--
xx
xx
3223
---
---
xxxx
xx
62
24
--
---
xx
xx
2337
34
---
---
xx
xxxx
4334
---
---
xxxx
xx
1314
553
---
---
xx
35274
-
xxxx
1243
33
--
--
xx
1234
11
--
---
xx
13245
--
xxxx
53
52
--
--
xxx
xxx
1223
1232
----
-----
xxxx
xxxx
()
()
()
6354
232
----
----
xx
161610
-
xxx
155
23
23
----
xxxxxx
23
23

-
xx
xx
13

--
xx
xx
25

--
xx
xx
43
--
xx
12
-
xx
.
.
.

.
.
Ответы:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
()()
()
67
61

-
xx
xx
xx
()
()
13
8554
---
---
xxx

;0
()()
---
;12;
[]
5;
--
[]
6;2
][
)()
--
;33;21;
()()
5;21;0
()()
--
;4204;
()()
1;012;3
---
()(
2;00;6
-
()
)()
---
;00;24;
12
12
45
-
--
--
xx
xx
xx
()
[]
()
4;21;12;
---
()()
2;12;
--
)(
][

;5,12,1;5,0
,0;0
()
[]
()
---
;31;13;9
)()

----
;53
,1;
,00
,0;
,02;


--
----
;20
;1
3;
()()
---
;210;5,05,1;

-
--
11
5;5,2
,1
4;5,1
,0
23
23
14
--
---
---
xx
xx
xx
()()(
()
----
;97;31;33;
()

----
;2555255;66;
][
)()
32;00;3
---
()()
1;44;
----
()()
7;44;3
()
-----
;2132;3,032;
()
1710
21
23
--
--
xx
xxxxxx
[][

;85,4;0
1;
--
[]

11;2
--
[][
--
;02,3;5
][]
3;11;
--
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1.
Условия равносильности для МЗМ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2.
Примеры с решениями
Пример 1.
Решите неравенство
.
Решение.
-
-
.0)(
,0)(
,0)()(
0)()(
xg
xf
xgxf
Nn
xgxf
.0)()(
0)()(
12
12
-
-
xgxf
Nn
xgxf
-
Nn
xgxf
0)()(
>-
-
()(0)()(
,0)(
,0)(
0)()(
,0)(
gDfDxxgxf
xf
xg
xgxf
xg
-
-
.0)()(
,0)(
,0)(
0)()(
xgxf
xf
xg
Nn
xgxf
()
.0
)(0)()(
12
12
--
xgxf
xgxf
-
-
.0)(
,0)()(
0)()(
xf
xgxf
xgxf
.0)()(0)()(
12
12
--
xgxf
xgxf
23
--
<-
xxx
>-----
--
-
>-
--
<-
01
77
,07
,07
,01
23
23
23
xx
xxx
xxx
xxx
.
Ответ:
.
Пример 2.
Решите неравенство
(1)
Решение.
.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 3.
Решите неравенство
(1)
Решение.
, (2)
где
()()
>-
>-----
--
065
,7;1
0177
,07
,7;1
23
23
23
xxx
xxxxx
xxx
()
()()
()(
7;32;1
023
,7;1
065
,7;1

>--
>-
xx
xxx
342
--
xx
()
()
322
2342

--

---
xf
xx
xxx
()
.322
--=
xxxf
()(
7;32;1
72
32
32
-
-
xxx
xxx
()

-
72
32
xx
xxx
()()
572
32

-
xx
xxx
()
()()
()()()
()()
()()
-

-
-

-
034
,0
572
234
,0
572
32
32
xxx
xx
xxxx
xxx
xx
xxxx
()(

4;03;5,35;
----
()(

4;03;5,35;
----
Применим МЗМ. Замен
им функцию
на функцию равного знака.
Пусть
.
Ответ:
.
Пример 4.
Решите неравенство
(1)
Решение.

.
Ответ:
.
Пример 5.
Решите неравенство
(1)
Решение.
()
xf
2132,2,2,0,2
txtxxttxt
-=--=-=-=
[][]
2;11;5
--
[][]
2;11;5
--
xx
--
11
()

----
11
xxxx
()
()
()()
--
---
-

,0112
,012
,021
tt
tt
tt
xf
()
()
()
-
---
-
---
--
.2
,01
,012
02
,012
,01
()
()
[]
.2;10;
,0
-
()
[]
2;10;
-
()
35
2531
-
---
()

-
---
35
()
()
()()
-
-
-

-
-
-
---
,5,2
,011
,0
05
,025
,01
,0
95
xx
xx
()()
()()
[]
-
-
-
5,2;5
,011
,0
28
xx
xx
(2)
1) Пусть
. Так как
то
.
2) Разделим (2) на
.
.
Ответ:
.
Пример 6.
Решите неравенство
(1)
Решение.
(2)
где
.
1)

.
2) При
()
()
()
11
22
--
xxxxx
()
=
xxxg
()
()()

----
4022
xxxxx
()()
()()
()
()
34

-----
xgxf
xxxxx
()()()()()()
3;4
--=--=
xxxgxxxxf
()
()()
--
04
3:
xxxfD
=
;4
;0
()

xgMx
()
()()
()()()()
-----
Mx
xxxxx
Mx
xgxf
,0
34
,0
,0,01
<>=
Da
()
Rxxg
>
()
xg
()
()
()
-
--

--
01
,0
xxx
xxx
()
-
-
,0
,2
,0
,0
,0
xx
xx
()(
0;22;
---
()(
0;22;
---
4022
-
-
xxx

.
Ответ:
.
Пример 7.
Решите неравенство
(1)
Решение.
.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 8.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.
()
()()()

---

--
4,
,0583
4,
,0
4023
xMx
xxx
xMx
xxx
5;4
;0
5;4
;0
16
16
84
--
--
--
--
xx
xx
()
()
45
16
14
05
16
14
-
--
--

-
--
--
xx
()()()()
()
()()()

---
-
--
-----
.5,6
,0
143
06
,0
16
141414
xx
xxx
xx
xxxx

)(
6;55;431;0


)(
6;55;431;0

67
----
-
xxxx
xx
где
корни квадратного трехчлена
.

.
Ответ:
.
Пример 9.
Решите неравенство
(1)
Решение.

.
Ответ:
.
()
)(
-
-----
-
06
,0
672
67
xx
xxxxxxxx
xx
()
()
()()
()()()
()()
-
---
-
--
--
--
023
,0
43
23
06
,0
48286
xx
xxxxx
xx
xx
xxx
xx
-
--
2,9
,0
1425
27
xx
xx
[]
()()
[]
-
--
-
-
9;2
,0
279
72
9;2
,0
1425
72
xx
xx
5,3;2
;2
-
5,3;2
;2
22
-=
22
=
()
24
-=
xxxg
-
3;
;2
xx
--
3;
22;2
432
439
--
---
xx
xx
()
()()
()()
-
--
--

--
--
02,09
,0
432
432
xx
xx
xx
xx
xx
Пример 10.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 11.
Решите неравенство
(1)
Решение.
1)
(2)
2) Пусть
.
.
3)
2242
4265
-----
---
xxxx
xxx
()
()
()
)(
--
-------
---
042,065
,0
22422242
4265
xxx
xxxxxxxx
xxx
()
()()()
[]
()
01
5;1
015
0:
---
xx
xffD
()
()
()
)(
[]
----
----
5;1
1515
1515
156
xxxxxx
xxx
()()
()()
()()
()()()()


--
--
--
---
-
;32
,0
1212
25
2,023
,0
6332
xxxx
xx
xxx
xxxx
xx
()()()

-
;3
,0
112
xxx
[]
5;3
[]
5;3
1515
156
---
---
xx
xxx
()
()
.0
1515
156
---
----
xxx
xxx
()
()()
1556
---=--=
xxxxxf

.
Ответ:
.
Пример 12.
Решите неравенств
(1)
Решение.
Пусть
При
Тогда
Ответ:
.
Пример 13.
Решите неравенство
(1)
Решение.

()
()
[]
()()
[]
()()
()()
[]
--
--
--
-
--
--
5;1
,0
13
5;1
,0
34
5;1
,0
82
682
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xx
()
--
---
-----
---
5,3
,0
512
7274
5,3
,0
168143
721741
xx
xxxx
xxxx
()()
()
,7;5,3
5,3
,0
5,3
,0
14
7274

--
---
xx
,7;5,3
41
36
--
--
()
()
41
116
01
41
36
--
----
-
--
--
xx

)(
5;4
,3;31


)(
5;4
,3;31

168143
721741
-----
---
xxxx
xxxx
()
,1,741
-=
xxxxf
()
;5,3,721
-=
xxxxg
()
()
;1,214141143
--=---=--=
xx
xxxxxh
()
()
.1,319161168
--=---=--=
xx
xxxxx
()()()()
.0,0,0,05,3
>>
xxhxgxfx
Пусть
При
Применим к неравенству (2) МЗМ.
1) При
.
2) При

.
3) Объединим полученные решения
.
Ответ:
.
Пример
Решите неравенство
(1)
()
()
,6
06:.6
Mx
xfDxxf

-
-
-=
()
.011
>--
xMx
))
[]
()

--
;55,2;66;3
21
[]
()

--
;55,2;66;3
1815
122
43
----
--
xxxx
xxxx
()
()
()
()()
()()
-
-----
---
----
Mx
xx
xxxx
Mx
xx
xx
,0
35
112126
,0
4141
116
()()
()
()()
-
---
-
--
Mx
xx
xx
Mx
xx
xx
,0
35
41
,0
35
8212
()
.1101,6
xx
xx
-=-<--
()()
()()
6;3
03
,6
035
,6
35
41
,6
--
>
-
<-
-
-
--
-
xx
xx
xx
()
.1101,6
-=->-
xx
xx
()()
-
--
52
,6
35
41
,6
xx
xx
[]
()

;55,2;6
Решение.
.
Применим МЗМ.
Так как
, то система
неравенств примет вид:
.

.
Ответ:
.
Пример 15.
Решите неравенство
(1)
Решение.
где
.
Заменим функцию
на функцию равного знака.
1)
.
()
1815
122
43
----
--
xx
xx
xxxx
)()
)(
-
----
--
.0122,0
43
,0
1815
122
43
xx
xx
xx
xx
xxxx
()
5,1,323
---=
xxxxf
3,
,32,0,32
=-
=-=-=
xxttxt
43
>-
xx
()
0,0
0122
<>>
DaRxxx
()
()()
645
,0
2426
96
-
--
-
xx
Rx
xx
xx
()()
--
;638,0;
()()
--
;638,0;
()
32
23
39
-
--
xxx
()
----
5,1
,3232
2727
23
xxxxx
()
()
()
()
()
()
---
---
,5,1
2,0
5,1
,0323
5,1
,0323
xf
xx
2)
Ответ:
Пример 16.
Решите неравенство
(1)
Решение.
.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 17.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Пусть
.
()
()()
-
--
-

,013
,032
,0
tt
tt
xf
-
--
-
--
-
.5,1
,06
5,1
,0932
032
,0332
,03
][
--
;8,54;6
2623
--
xx
42,2,0,2
-=-==
txxttxt
()
()
.6;5,1
5,1
,06

-
.6;5,1
1423
23
---
----
xxxx
xxx
()
()
()
1423
23
----
----
xxxx
xxx
()()
)(
()()
-
-
--
-----
----
045
,0
,0
1423
96
23
23
xx
xx
xx
xxxxxx
xxxx
()()
()()
-
-
045
,0
612
xx
xx
][
--
;8,54;6
Так
к
то
.

.
Ответ:
.
Пример 18.
Решите неравенство
(1)
Решение.

1) Так как
, то
.
2) При
.
()
--
--
,364
,463
tt
,04
-
[]

21;2
--
3253
561
---
--
xx
xx
()
0:

[]
1;5
,1
05
,01
-
-

-
[]
()()
xxxx
-=-=<->-
22,6602,061;5
036
-
()
()
()
[]
---
-
---
2;0
,0364
036,0
,0364
tt
)(
[]
()()
[]
--
----
2;0
,023
2;0
,0364364
tttt
tt
()()()()
[]
()()
[]
--
---
2;0
,012
2;0
,01225
tt
tttt
()
()
()()

--

--
42,02
,01242
22,02
,01222
xx
xx
()()
[]
-
-
2;2
,012
xx
[]

21;2
--
3)
4) Функция
при
при
функция
.
Решим систему неравенств (2), (3) двумя способами, используя
1 способ.
Рассмотрим два случая.
1)
2)
3) Объединим полученные решения
.
Ответ:
.
2 способ.
1) Рассмотрим функцию
Заменим функцию
функцию равного знака.
а) Пусть
;
()
[]
()
()
()
[]
()
-
--
----
-
-
-
.1;5
,0
553
1;5
,0
553
11
xx
xx
xx
xx
()
01
--
()()
.1;1
01
,1;1
01
,1;1
-
>
-
<-
-
xx
))
[]
1;13;5
21
---
[]
1;13;5
---
()
()
()
.1:,111
-=----=
xfDxx
xxxf
21,1,1,0,1
txtxxttxt
-=-=-=-=
()
()
()()
-
---
-

,021
,02
,02
tt
tt
tt
xf
[]
1;5
--
()
01
<--
1;1
-
()
05
>-
[]
1;5
-
[]
()()
()()
[]
[]
()
()()
-
--
--
--
--
----
--
,1;5
2019
,1;5
559
,1;5
xx
xx
xx
xx
xx
[]
[]
.3;5
,03
,1;5
--
-

--
()
()()
<--
-
>--
-
>--
-
2019
,1;1
0559
,1;1
0553
,1;1
xx
xx

2) Рассмотрим функцию
.
Заменим функцию
на функцию равного знака.
Функция
возрастает на промежутке
, как сумма
двух возрастающих функций. Так как
, то по теореме о корне
единственный корень уравнения
.
.
Ответ:
.
Пример 19.
Решите неравенство
(1)
Решение.

Пусть
. Заменим функцию
) на
функцию равного знака.
1) Пусть
2)
-
--
-
01
,012
,02
()

--
.1
,03
,014
()
()
()
()
[]
[]
[]
1;13;5
1;5
,0
1;5
,0
---
-
-
xg
xf
[]
1;13;5
---
24
62
---
-----
xx
xxxx
()
62
-----=
xxxxxf
3,
62,0,
62
22
=---=--=
xxxxttxxt
=--
xx
()
--
-

,0
,0
tt
xf
()
()
,553553
-=--=
xxxxxg
()
5:
-
xgD
()
xgy
-
;5
()
01
=-
-=
()
xg
()
()()
()
-

-
--
-
--
-
.5
,01
,01
,01
,0
gxg
xg
II.

.
Ответ:
.
Пример 20.
Решите неравенство
(1)
Решение.


.
()()
--
---
-
-
62
,06
62
,06
,046
xx
xx
tt
()()
-
---
.025
,06
62
xx
xx
[]

65;4

()
()()
()()
()()
-
---
---
-
---
---
2,025
,0
24
3620
62
025
,0
24
62
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
()()
()()
--
-
-
--
.5
,0
,0
36
47
,0
xx
xx
xx
xx

;76;5

;76;5
3011
4213
-----
xxxxxx
()()
()()
()()
--
--
--
-
-
--
056
,067
,046
3011
,0
4213
,0
xx
xx
xx
xx
xx
xx
1)
2)
, сократим (2) на
.
Применим МЗМ.
, так как
.
Ответ:
.
Пример 21.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.
, (2)
где
,
.
II
Заменим функции
на функции равного знака.
()
()()
()()
()()
[]


-------
65;4
,0566746
xxxx
xx
0,05
11648
<>=>-
DaRx
xx
()
()
3841
35
369
22
-----
-----
xxxx
xxxx
()
()()
()()()
543
21

xfxfxf
xfxf
()
()
369369
22
-=--=
xxxxxf
()
35
---=
xxxf
()
-=
xxf
()
()
4,8484
--=---=
xxx
xxxf
()
-=
xxxf
()
1,
ixf
.6
0000
,6
=
-
[]
065;4
>-
()
()
[]
----
5;4
,0754
xx
()
[]
----
5;4
,0754
xx
[]
()
[]
----
-----
5;4
,06542
5;4
,0755424
xxx
xxxxx
()()()
[]
[]
----
----
5;4
,0
12368036
5;4
,06544
xx
xx
xxx
[]
-
5;4
,0
11648
xx
1)
.
2)
.
3)
4)
.
.
5)
.

.
Ответ:
.
()
()
()
----
0966903
690
242
xxx
xx
xf
-
()()()
052
-
xx
xf
()
()
()()
()()()()()
()
()()

-
---
---
2,4
,0
51
,0
5251
22
xx
xx
xx
xxxx
xxx
()(
()(
4;22;102;55;
----
()(
()(
4;22;102;55;
----
()
()
()
()()
------
035
035
xx
xx
xf
)(
()
------
082203535
xxxx
()
()()
022
04
----
xx
()
010
-
xf
()
xf
8,4,4,0,4
txtxxttxt
-=-=-=-=
()
()()
-
-
-

,03
,034
,0
tt
tt
xf
()
-
--
-
--
.4
,05
,094
04
,034
3.
Примеры для самостоятельного решения
Решите неравенства:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
.
16.
.
17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
21.
. 22.
.
23.
. 24.
.
23
--
<-
xxx
532
<
--
xx
36
-
xxx
-<
---
xxx
6245
--
xxx
6387
-<
---
xxx
15
196
15
196
--
--

--
--
xx
xx
2510
2510
--
--

--
--
xx
xx
3256
67
----
--
xxxx
xx
672
56
--
---
xxxx
xx
5632
32
--
--
xxxx
xx
127
128
--
---
xx
xx
52
-
-
xx
xx
25
---
-
xx
024353
<----
xxxx
17
12
353
---
--
xxxx
xxxx
2532
11
--
---
xx
xx
92
28
28
--
--
xx
xx
632
-
xx
()
23
1529
-
--
17
121
-
---
65
34234
-
---
xx
xxx
14
11
--
6022
-
-
xxx
25.
.
.
. 28.
.
29.
. 30.
.
31.
. 32.
.
33.
. 34.
.
35.
. 36.
.
37.
. 38.
.
39.
. 40.
.
41.
. 42.
.
43.
.
44.
.
45.
.
46.
47.
.
04753237532
<---
xxxxxx
0221
121
>---
xxxxxx
136
23
---
---
xxxx
xx
22543
-
633
---
xx
2162
->
xx
1342
1522
---
---
xx
xx
143
143
--
--
xx
xx
()
323
211
---
----
xxx
xx
27
7353
--
---
xx
xxxx
13
---
---
xx
xxxx
65
734
-----
xxxxxx
36943
--
---
xxxx
xxx
()
4464284
-
xxxxxx
()
()
1545
2332121
---
---
xxxxx
xxxx
1634235
5,24
57
---
------
xxxx
xx
xx
242221
521531
------
-----
xxxx
xxxx
14312
3223
-----
---
xxxx
xxxx
52
33
-
--
735
33452

-
xxxx
xxxx
43243
12
--
-
xxxx
xxxx
()
34
43
268
-
--
xxx
252
2251
23
--
---
xxxx
xx
Ответы:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
()(
5;42;1
3;5,2
()(
][
----
;23;57;
][
)()
--
1410
;64;
()

;5
][
4;18;
--

)(
5;44;321;0


)(
;99;76;41;0

6;322;1

-----
1;
22;5
1;322;3
---
2;5,0
,0;7
--
[]

31;2
--
[][
1;17;9
---
()

--
;11;
-
53
53
0;
(
2;5,115,2;3
--
()
5,0;
-
()
,0;
--
()(
7;31;5,02;35
---
,4;5,2
,3;5,1
()
3;37;
--
[]

21;4
-
()
----
15,2;
()
--
05,1;
7;
,0
-
5,0;2
4;35,0;4
-
[][]
,1;3
,3;4
----

[]
7;43
()
5;3
[]
4;20;2
-
[]
3;11;3
--
5,6;5
()
[]
9;35,1;
--
-
;45,2;1
)(
9;52;1

[]
()()
--
;44;101;5
()
5,2;5,02,0;1
-
[]
;3
[]

11;56;7
----
()
3;2

,0
[]
(
5,7;654;0

4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение показательных неравенств основано на
монотонн
сти
показательной функции
, которая при
>1 монотонно во
растает, при
монотонно убывает
.
1.
Условия равносильности для МЗМ
1.
Вывод:
2.
так как
3.
4.
Вывод:
Частные случаи
1.
2.
ay
()
--
><-
-
>-
.0)()(
0,01
0)()(
,01
xgxf
aa
xgxf
()()
.0)()(1
)()(
---
xgxfa
aa
xgxf
-
-
log
)(
)(
xf
xf
aa
ba
()(
.0log)(1
--
bxfa
()
.0)(1
01
0)(
)(
---
xfa
aa
xf
xf
bx
bx
ba
log
)1;0(
log
,1
()
--
<-
-
>-
.0log
,01
0log
,01
bx
bx
()()
.0log1
,0
--
-
bxa
ba

<-
ba
,0
Rxa
>
,0
Rx
ba

>-

)()(
1;0(
)()(
,1
)()(
xgxf
xgxf
aa
xgxf
2.
Примеры с решениями
Пример 1.
Решите неравенство
. (1)
Решение.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 2.
Решите неравенство
(1)
Решение.

1)
.
2)
.
3)
.
Ответ:
.
Пример 3.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду и прим
ним МЗМ.
. (2)
()
()

--
-
170771
xx
xx
][
--
;85,0;
][
--
;85,0;
log
55
-
-
()
55
04log
55
---
xx
xx
()()
()()

-

-
---
32
92
32
633
xx
xx
xx
()
3;25,4;
---
()
3;25,4;
---
xx
183
46
-
--
()
12122222383
===
()
()
()
22112112183
==-=
-=-
()
()

--
--
--
23
46
120221
46
xxx
xx
()()
------
081208
2038
xx
xx
xxx
Пусть
.
.
Ответ:
.
Пример 4.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.
.

.
Ответ:
.
Пример 5.
Решите неравенство
(1)
Решение.

1) Приведем неравенство (1) к каноническому виду.
Пусть
.
0,5
>=
tt
()
()()
--
-
-
,011
,01
2625
,0
tt
tt
5,1;25,3;
---
1327
--
0,3
>=
tt
()
()()
---
--
,0
391327
,0
273913
23
tt
ttt
()()
()()
--
--
05555
05
,01515
02
()()()()()
][
------
;02;
02
00150215
xx
][
--
;02;
()
5,02
26
43
922
65
--
-
xx
xx
()
22
6243
922
1210
--
xx
xx
()
()()()

-

----
----
84
624312
922
1210
213
xx
xx
xx
xx
()()
3272
-
xx
5,1;25,3;
---
(2)
2) Применим МЗМ.
.


.
Ответ:
.
Пример 6.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду и прим
ним МЗМ.
.
Ответ:
.
Пример 7.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду и прим
ним МЗМ.
()
()
()()
()
--
---
,09
,03
933
ttt
ttttt
()()()
()()()
0333333
,0193
---
---
ttt
38
38233
--
----
xx
()

--
--

--
------
38
33
38
382
38233
xx
xx
()()()()()()()()()
021
00132131132
--------
xxx
[][

;21;0
[][

;21;0
33
5,0
25,0
-
()

-

--
33
33
3939
5,0
5,0
5,0
5,0
()()
()()

--

--
33
3333
33
13
5,0
5,0
()()()()
()()
()


--
----
;42;0
15,013
013413
xx

;42;0
.
Ответ:
.
Пример 8.
Решите неравенство
(1)
Решение.

Приведем неравенство (1) к каноническому вид
у и применим МЗМ.
, (2)
где
.
Заменим функции
и
на функции равного знака.
1)
(3)
– однородный многочлен второй степени относительно функций
. Так как
, то разделим неравенство (3) на
.
.
2)
.
()()
()

--
--

--
-
83
9333
83
()()
()()
()()
()()

-
--

---
--
333
3333
83
83
3333
()
025257520
-
xx
xf
Rx
>
04


-
205
()
()()
01
011
01
--
--
-
xx
()
()()
---
03log2150550
3log
xg
03log
3log
--
()()()()
()()
()()
[]
()

--

--
----
;32;1
21
313
213113
xx
[]
()

;32;1
7645
--
()

---
7645
()
()
45

-
xg
xf
()
()
,45
-=-=
xg
xf
.

.
Ответ:
.
Пример 9.
Решите неравенство
(1)
Решение.

1) Так как
, то
.
2)
(2)
Пусть
, где
.
где
,
.
.
Ответ:
.
Пример 10.
Решите неравенство
(1)
Решение.

, (2)
()
()
3log
xx
1;3log0;
-
()
3196031
=-=-=-=
()
()
3196031
=-====
()
()
()()
()()
--
--
,0
aaaa
Rx
aaaa
()()()()()()
[]
2;2
022
02121
-----
xx
xaxa
[]
2;2
()
222
55
,05
1132
212
--
--

--
xxx
()
()
()

xg
xf
3log
1;3log0;
-
()
()
6215
-
()
()
151615
=-=-
()
()
=
()
()
()
41
-
()
=-=
()
0,1;0,
>-=
ta
()
()()
--
-
-
)4(
,0
)3(,0
,01
,0
21
tttt
tt
где
.
Применим МЗМ. Заменим функции
и
на функции равного
знака.
1)
. Воспользуемся методом группировки.
2)

.
Ответ:
.
Пример 11.
Решите неравенство
(1)
Решение.

1) Пусть
.
2)
()
()
()
1132
212
222,55
,05

--
--=
--=
xxx
xg
xf
)
--
;5,101;2
)
--
;5,101;2
()()
()
5log5log
5log5log
()
2;1,5log
=
aa
()

==
013
,5log5log
()
xf
()
()
---

--
-
055550
2212
12
xxx
xf
()()()
()
-----
--
--
--
055550155155
22023
232
232
()()()()
()
()
0320221502315
---------
xx
()
()
-
--
-
--




0122
,021222
022
,0222
21
132
22132
xx
xx
xx
xg
()()
()()


--
--
-
-
.02
,01
00212
,00112
022
,022
02
01
()
()
()
-

--
,0
32
02
,0
32
xx
xx
3)

.
Ответ:
.
Пример 12.
Решите неравенство
(1)
Решение.

Приведем неравенство (1) к каноническому виду и применим МЗМ.
, (2)
где
.
Заменим функции
на функции равного знака.
1)
.
2)
.
3)
Пусть
, так как
.
.
()
()()
()()
--
--
,0
,0
121
41
,0
xa
xa
aa
aa
()(
4;00;1
-
()
xf
92

xx
<>=>
0,02
92
DaRx
xx
92
>>
xx
()
()()
-
-
--

,0
,02
,0
6430
tt
tt
xf
()
--
-

05
9212
,02
92
xx
Rx
xx
()()
051205920
2520
92
---
xx
xx
xx
()(
4;00;1
-
()
()
576
92
92
-
---


xx
xx
xx
()
()()
()
21
xf
xfxf
()
()
()
4,
5,76
92
92
-
=-=--=


xx
xx
xf
xfxxxf
()()()
017
-
xx
xf
()
()
()
()
------
041021150550
xf
()()()()
013
02121
----
xx
xx
.
.
Ответ:
.
Пример 13.
Решите неравенство
(1)
Решение.

, (2)
где
.
Применим МЗМ.
Заменим функции
на функции
равного знака.
1)
2)
.
3)
.
4)
()
()()()
()()
512
317
-
--
xx
xxx
()(
][
---
;73;5,015;
()
()
()()
()()
()()
-
--
-
--
.055
,077
055
,047
xx
xx
xx
xx
()
()()
07
403
40
------
xx
xx
xxxf
()
()
()
()()
022
04120220
----
xx
xf
()
()()
06006130330
06
-----
xf
()
()()()
()()()
()()
()()()
()()()
()()
-
--
--
-
--
---
055
,0
622
77
055
,0
622
77
xx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
()(
][
---
;73;5,015;
()
()
13
55
33
--
---
xx
()
()()
()()
43
21
xfxf
xfxf
()
()
,3
,55
33
---=
-=
xxxf
xf
()
()
13,
-=-=
xf
xf
()()
---
33150
xx
xf
()
()
-
---
-
--
,0
,0
33
xx
xx

.
Ответ:
.
Пример 14.
Решите неравенство
(1)
Решение.

, (2)
где
.
Применим МЗМ. Заменим функции
на функции ра
ного знака.
1)
,
, так как
.
2)
3)
.
(
][
-
7;67
Rxxx
>-
092
0,01
<>=
Da
()
-
-
-
--

07
,03
07
,047
xx
xx
xx
xx
xf
()()
()()
--
--
.0173
,0313
xx
xx
()
()
--

013301340
52
52
3log
xxx
xx
xf
()
()
()
02
004213033
042
-----
xx
xx
xx
(
][
-
7;67
134
27
66
52
3log
23
-
--
-
xx
xx
xx
()
()()
()
21
xf
xfxf
()
()
()
134,27
3,66
52
3log
23
-=--=
-=
-
xx
xx
xfxxxf
xf
()()
---
0237160
xxx
xf
()
()(
)(
-----
0237237
0237
xxxxxx
xxx
()()()
()()
015
054
09254
---------
xx
xx
xxxx

.
Ответ:
.
Пример 15.
Решите неравенство
(1)
Решение.

, (2)
где
Применим МЗМ. Заменим функции
на функции
равного знака.
1)
.
Пусть
, так как
.
()
()()()()
()
()()
()()()()
()
()()
--
---
--
----
.0173
,0
31315
0173
,0
31315
xx
xx
xxxx
xx
xx
xxxx
xx
102
-
txx
()
()()
-
-
-
-

01
,02
,024
,082
tt
tt
xf
()
()
()
-
--
---
---
-
-
02
,012
00212
,01212
022
,022
xx
xx
xx
xx
xx
xx
[]
5;31;
0;1
-
[]
5;31;
0;1
-
()
9,09,04217
8824
43213
1log
12
--
--
-

--
-
xx
xx
xx
xx
xx
xx
()
()()
()()
43
21
xfxf
xfxf
()
()
()
,3
8,824
1log
12
--=-=
-
xx
xf
xf
xx
xx
()
()
.9,09,0,4217
43213

--
-=--=
xx
xx
xfxxxf
()
xf
2)
3)
.
4)
.

.
Ответ:
.
()()
()
-
-
.012
,0112
xx
xx
()
()
>
--

01
,03
xxx
xf
[]

-
5;
10;5,0
[]

-
5;
10;5,0
->
-
>
--
,0473
01
,03
133
23
xx
xxxxx
()()
->
--
.1
,0143
xx
()()()
--
042170
xx
xf
)(
)()()()()
013103955042174217
----
xx
xx
xxxx
()()
()()
----
04321319,00
xxxx
xf
()
()()
015
054
-----
xx
xx
()
()()()
()()()
()
()()()
()()()
()
->-
--
--
->-
---
--
1,012
,0
5131
43112
1,012
,0
5131
43112
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
3.
Примеры для самостоятельного решения
Решите неравенства:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
21.
. 22
.
23.
.
24.
.
25.
.
()
25,0
22

()()
632
4,0
4,0
-
xx
02
2393
--
xxxxx
0372374
3232
6242
--
39
335

52
22
523
--
----
xx
327
3233
--
----
xx
235
2322
--
----
xx
345
3433
--
----
xx
15361312
12
--
6223223
-
()
()
122112
-<
()
xx
2347
-
--
347347
-
()
52
333
442
--
--
xx
()()
()
3log3log
3log3log
()
22
2512
4217
--
--
xx
xx
xx
()
37,07,0
25,04
13
95
212223
-
-
-
-
xxx
xx
xx
xx
xx
23
1231
-
-
xx
12833
-
-
--
log
--
log
44
()
93
5,04
122
23
-
-
xx
xx
33
22
--
26.
.
27.
.
28.
.
Ответы:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
()
()
7793
22
--
--
xx
156
5233
37
5log
-
-

xx
xx
xx
()()
5;33;1
][
2;5,05,2;
--
][
-
;21;
[][
-
;20;2
5,1;
--
()()

;41;0
][
4;21;
-
()

;21
()

;3
()

;2
()
4,04,05395
379
23
3log
85
85
--
--
--

--
xx
xx
xx
xx
xx
xx
[]
()

-
;2log0;1
][
--
;22;
()
0;
-
[]
2;2
()
--
;20
,1;
()(
2;00;1
-
[]

40;
1;3
---
()
[]
()
---
;42;5,05,23;5
[]
()
--
66;

0;5,02
;4
--
--
][
--
;42;
[]
()
7;420;4,0
-
()()
-
;15,0;
][
--
;52;
[]
7;2
[]
2;1
][
--
;31;
5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение логарифмических неравенств основано на
моното
ности
логарифмической функции
, которая при
>1 мон
тонно возрастает, при
монотонно убывает
.
1.
Условия равносильности для МЗМ
1.
Вывод:
Частные случаи
1.
2.
xy
log
()
-

0)(
,0)(
01log)()(log
0)(log)(log
xg
xf
xgxf
xgxf
)(log)(log
xgxf
)()(
,0)(
,0)(
1;0(
)()(
,0)(
,0)(
,1
xgxf
xg
xf
xgxf
xg
xf
()
--
-
.0)(
,0)(
,0)()(
1;0(
0)(
,0)(
,0)()(
,1
xg
xf
xgxf
xg
xf
xgxf

0)(log)(log
xgxf
()()
>
--
.0
,0)(
,0)(
,0
)()(
1,0
,0)(
,0)(
,0)()(1
xg
xf
xgxf
aa
xg
xf
xgxfa
-
-
0log)(log0)(log
axf
bxf
()
()
()
>
--
.0
,0)(
,0
1,0
,0)(
,0)(1
xf
axf
aa
xf
axfa
2.
Примеры с решениями
Пример 1.
Решите неравенство
(1)
Решение.

.
Ответ:
.
Пример 2.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.
Пусть
.

1)
.
Сравним
.
()(
-
>
--
.0
,0)(
,0)(
,0
1)()(
1,0
,0)(
,0)(
,01)()(1
xg
xf
xgxf
aa
xg
xf
xgxfa
()
0123log
5,0
-
xx
()
()
<-
---
035
,0451
xx
xxa
--=-
01
-
---
265
01
()
()
()
--
--
02log23log02log23log1
xx
xx
()
()
()()
>--
-
>-
---
012
,03
023
,022312
xx
xx
xx
xx
)(
3;21;0

)(
3;21;0
()
035
log
51
--
--
xx
51
--=
()
()
()
>--
----
---
035
,01351
01log35log1
xx
xxa
xx
.
2)

где
.

.
Ответ:
.
Пример 3.
Решите неравенство
(1)
Решение.

.
Ответ:
.
01
<-<
()
()
()()
()()
<--
--
<-
-
,0
,014
035
,045
xxxx
xx
xx
xx
()
()
()()
()
()
()()
()()
()
()()
>-
-
>-
>-
-
>-
>-
<-
>-
01212
,2;2
,011
01212
,2;2
,01
012
,022
,017
xx
xx
xx
xx
xx
()()
2;11;2
--
()()
2;11;2
--
-<-<-=<<=
4;4
1613
93;
5,44;15,0
<<<<
xx
][
;41;
xxx

;41;
()
()
36log4log
5,0
5,0
>-
()
()
()
>-
--
036log4log1
5,0
5,0
()
()
()
>-
<-
>-
>-
>-
>----
012
,04
,076
036
,04
,036415,0
xx
xx
Пример 4.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду.
Применим МЗМ.

-
12
96
loglog
loglog
53
xx
xx
()
--<
53
log
log
loglog1
<
loglog
loglog
53
53
,0
loglog
,0
loglog
loglog
53
53
53
<-
,01log
loglog
53
()
>-
<-
,01log
log
,05log
log
,0
log
,01
log13
()
()
-
-
>-
<-
31
,0
51
01
,05
,01
15
,05
15
xx
xx
.
Ответ:
.
Пример 5.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду и прим
ним МЗМ.
.
Ответ:
.
Пример 6.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.
()
>
>-
>-
>-
-
;4
03
,04
,03
,0
,0
()
2016
3log
log
7log1


xx
xx
()
)()

---
log
7log1
2016
3log1
xx
xx
()()
()()

--
log25log3log2
3log
xx
xx
()()()
()()
()()
()()
>
>
>
>
>
>


,02
,05
,0
log
05
,025
,02
,0
25
52
log
xx
xx
xx
xxx
()
-
->
->
;2
,01
13
;2
()
)(
()()
log7log
14log
3011
log23log
7,0
-
--
--
xx
xx
()
()
)(
()(
)()

--
-
-
--
1log
log1log7log
log
3011
log4log3log
7,0
7,0
xx
xx

.
Ответ:
.
Пример 7.
Решите неравенство
(1)
Решение.

Приведем неравенство (1) к каноническому виду.
, (2)
где
.
Заменим функцию
на функцию равного знака.
1)
.
2)
()
()
()
()()()()
()()()
()()
()
()()
()
-
>
>-
-
-
>->
>
>-
-----
-----
;7
,065
,03
,0
14
,07
,0
3011
,03
,0
17,01713
203011
154312
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
()
()
--

,04log
7log
tt
xf
()
()()
()()
>--
--
>-
-
>-
---
,052
,01
,0
,0
1011
,0
,04
712
tt
tt
tt
tt
tt
ttt
()
;416;7
---
()
;416;7
---
5,1
274log
12
12
-
()
()

--
5,1
32
274log
12
12
()
5,1
5,1
2log
274log
32
12
12

--
xf
()
32
12
12
2log
274log
--
xf
0,2
12
>=
tt

.
Ответ:
.
Пример 8.
Решите неравенство
(1)
Решение.

Упростим неравенство (1) и приведем его к каноническому виду.
1)
.
2)
.
3) Разделим неравенство (1) на 2
.
()
()
()
>--
-
02
,02222
,02222
12
5log
12
12
012
log
12
()(
)()()
()()()(
()()
()
>-

>----
--
--
05,2log22
,0125log2
05log121211212
,001212
log1212
xx
()
()
=
;02E
5log
5,2log
()
()

05,2log
,05,05log
xx
()
()
()
05,2log
,0
5,1
5,05log
xx
()
5log;5,2log0;5,05,1;
---
()
5log;5,2log0;5,05,1;
---
()
()
()
()
()
()
()
2log3log4
24
2log3log7
-
-
()
()
7log1
7log
222272
72
===
xxx
xxx
()
22
22
24
-
=
xxx
xx
II.
Применим МЗМ.
Оценим
.

.
Ответ:
.
Пример 9.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду и прим
ним МЗМ.

.
Ответ:
.
()()
=---
>--
xx
;45;
,035log4log34log5log
>--
Mx
xx
,0)14(log3)14(log5log
()
()
-
----
;25;
56;
>-
Mx
,0)35)(log14(log
>-
-
Mx
,0)2log5(log)2log4(log
----
Mx
,0
5)12()24()12(
()
--
Mx
,0
)5(2)4(
22
()()

--
Mx
xxxx
,0
52424
()()
()()
---

;45;
,0
462
xxxx
()
()
-
----
;25;
56;
Пример 10.
Решите неравенство
(1)
Решение.

(2)
где
Применим МЗМ. Заменим функции
на функции равного
знака.
.
1) Пусть
.
2)
Оценим
.
()()
72log72log
-
-----
xx
xx
xx
()
()
()
,0

xg
xf
()
;01log
log3log2log3log58
=>=-=-
3log
3log58
,12log3log
=>
()
()
()
>--
---
072
,01log72log
,0log
xx
xx
()
()()
()()
>--
--
>--
----
,082
,017212
xxxx
xx
xxxx
xx
()
()()
()
.4
3,72log72log
-=
-----=
xxxgxx
xxxf
72
--=
xxt
()
-
-

,0log5log8
,0loglog
tt
tt
xf
-
-
,0log5
3log
log8
,0log5log8
tt
()
()

,0log
3log
3log58

где
.
.

.
Ответ:
.
Пример 11.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду и прим
ним МЗМ.
()()
()()
>--
-
,0
,024
xxxx
xx
22181;22181
==-=-=
()
()
()
()
()
()

--
---

-
154
37
37
154
154
37
xxx
xx
xxx
()
()
()(
()

----
---
154
37
37
154
xx
xx
()
()()()
>->-
------
---
037,0154
,0
11541
1371
371541
xx
xx
xxx
()()()
04130
--
xx
xg
()
()()
()()
()()
()()
>--
>--
--
-
.4,0
,0
13
,0
413
24
xxxxx
xxxx
xx
xx
()
()
--
;44;2212;
()
()
--
;44;2212;
()
154
)37(log
5log
37
-
xxx
()
()
-

154
2log5log1
37
37
xx

.
Ответ:
.
Пример 12.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
()
()
()()
()()
()()
()()
<>--
--
-
<>--
--
--
,0141
,0
542
321
,0141
,0
5436
624
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
xx
)(
-
;25,1;
,10;1
)(
-
;25,1;
,10;1
(log)94()(log7(
)77()
3,0
3,0
1243
--
()
>-
---
---
04
,0
)4
94()13,0
7(
)1243()17()5()5(
xx
xx
--
-
--
-
,0
)52
72()7(
)5()5(
,0
44()7(
)5()5(
xxx
xx
xxx
xx

)7;5[)5,2;5,3(5
--

)7;5[)5,2;5,3(5
--
Пример 13.
Решите неравенство
(1)
Решение.

(2)
где
Применим МЗМ. Заменим функции
) и
) на функции равного
знака.
1)
2)
так как
, то
3)
()
sin85
)2(log228log
21
7,0
7,0
-
--
--
xx
5,0
sin
sin
sin
-=-=
=

02
-
.1
--

,0
0)(
xg
--
,054
tt
()
,0
)(
)(

xg
xf
,)2(log2)28(log)(
7,0
7,0
--=
xx
xf
21
sin85)(
--
-=
xg
>
--

02
0)2(log)28(log
0)(
7,0
7,0
xx
xf
>-
->
---
028
,2
,0))2(28
17,0(
xx
xxx
<-
->
-
<--
->
-----
0)2
4(
,2
,02
082
,2
,0)44
28(
22
xx
xx
xx
xxxx
-
-
<-
->
-
4;2(
,01
04
,2
,0)1()2(
xx
0)(
xg

.
Ответ:
.
Пример 14.
Решите неравенство
(1)
Решение.

(2)
где

Применим МЗМ. Заменим функции
на функции равного
знака.
.
1) Пусть
.
2)
(3)
3)
.
-
-
-
-
-
055
,055
01
,05
,0)1()5(
02
tt
-
-
--
---
---
,03
02
,012
0)02()15(
,0)12()15(
()
0,log2243log,243
=-
-=
zz
xx
xxz
()
01loglog20
--

zz
xf
0,log
tzt
-
.2
4;2(
,0
)2(
xx
)4;3(
)4;3(
()()
()()
1log2log
log3
1243log243log
-
--
--
xxx
xx
xx
()
()
()
,0
<
xg
xf
()
()()
,1243log243log
--
--=
xx
xxxf
()()()
.1log2log
log3
-
xxx
xg
4)
III.

(4)
1)
.
2)

.
Ответ:
.
()
()()
-
-
--
,01
,0112
,012
tt
tt
-
-
-
-
01loglog
,09loglog
0log
,01log
0log
,01log
3;
;0
3;
;0
()()
()()
()()
()()
--
-
-
--
-
-
--
--
.0113
,0173
0143
,0743
01
,09
,0119
,0919
xx
xx
xx
xx
()
02log2loglog
130
--

xxx
xg
Ruxu
=
,log
()()
()()
----
012
02
02234
uu
uu
uuu
()
()
()()
----
-
,0313313
03loglog3loglog
()
-
.0
,03
xx
()
()()
()
()()
()
()()
>--
>--
-
.0,0113
,0
73
0,0113
,0
173
xxx
xx
xxx
xx
xx
Пример 15.
Решите неравенство
(1)
Решение.

где

1)
.
2)
Применим МЗМ. Заменим функ
на функции
равного знака.
1)
2)
()
()
()
,64,0423
32log
log
log2
2log
--
--
xx
()
()
()()
()
()()()
()

,0
32
fDfDfDx
xfxf
xf
()
()
()()
,423,32log
log
--=
--=
xxfx
xxxf
()
,64,0
log2
2log
xf
-=
()()()()
023
,032
,0
>
-
>-

fDfDfD
()
()
()
()()
()
()
,0
32
xfxf
xf
()
()
--
,032log
log
,0
xx
xf
()
()
()
()()
--
--
--
,012
,02314
,023loglog
xx
xx
xx
()
--
--
,0
23
,0423
,0
xf
3)

.
Ответ:
.
-
-
,06
,0
()
,0
,0
log22
2log
xf
--
,04log32log1
,0
4log3
2log
()()
---
--
,01log2log
,02log3log
xx
xx
)(
-
--
,03loglog9loglog
()()()()
()()
---
-----
,039
,0313913
xx
()
()
()()
()()()
()()
()()()
---
--
----
--
,0
396
12
,0
396
12
xxx
xx
xxx
xx
[]
()

;9)6;3(2;1
[]
()

;9)6;3(2;1
Пример 16.
Решите неравенство
(1)
Решение.

(2)
где

,
.
Применим МЗМ. Заменим функции
),
) на функции
равного зн
1)
Пусть
3)
24
22
1)76(log13log)6(log
2,0
----
---
xxxx
-
07log)76(log
0)6777(0)776()17(
-----
-
xx
xx
0,7
>=
tt
()
---
---
,0167
,06
tt
()()
--
,0117
tt
()
--
,01
()
()()
.0
,0017
07
,077
-
---
--
Rx
----
0)
24(
220)(
xx
xx
xf
-----
0)
24
22()
24
22(
xxxxxxxx
---
0)
46()
2(
xxx
()
,0
)(
)()(
21
xf
xfxf
----
0)523()
xxx
,13log)6(log)(
2,0
-=
xf
xf
--=
1)76(log)(
24
22)(
----=
xxxxxf
--
05log)3(log)6(log0)(
xx
xf
--
0)6(log)
5(log
-

>->
--
6;3(
,032
06,03
,0)6
5()15(
xx
-
0)1()76(log0)(
xf
4)

.
Ответ:
.
3.
Примеры для самостоятельного решения
Решите неравенства:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
.
8.
. 9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
.0)1()53()4()4(
---
xxxx
()
()()
()()()()
()
-
---
-
6;3
,0
15344
32
xxxx
xx
<-
log)5(log
()
24log)3(log
6,0
6,0
>-
-

12
12
loglog
loglog
32
xx
xx
()
182loglog
24

xx
1)
(loglog
25
-
xx
loglog
68,0
xx
)1(log2)
2918
2(log
2,0
2,0
--
xx
)43(log
log)4(log2
5,0
-
xx
xx
)(
)5(log)
(log
2)2(log2)8(log
2,0
5,0
-
-
-
xx
xx
()
()()()
()
-
--
6;3
,0
1534
32
xxx
xx
---
4;
0;15,1;3
---
4;
0;15,1;3
()
0382log
>-
xx
()
134log
<-
xx
12
log
0)24(
log
31728
--
--
xx
14.
. 15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
log
12
-
3824log
11

-

xx
()(
()
()
93
)3
(log)12(log
--
--
()(
()
()
125
3(log)32(log9
8,0
8,0
--
-
()
()
cos
359
4log256log
2,0
2,0

--
xx
()
()
23
log12log
2log
12
log
2,0
2,0
-
-
()
()
3log7loglog2
1010
5log22log1
-
----
xxx
xx
xx
()
()
)2(log)1(log9
)3
)2(log)1(log2


xx
05
)3(
log)7(log)3(log
>-
--
23
)44(log)44(log
-
-----
xx
xx
xx
352
4(log)
4(log
--
-----
xx
xx
xx
)17
lg(
)74(log
5log
74
-
xx
)229(log
)47(log
3log
47
--
xx
)166(log
)52(log
3log
52
-
xxx
()(
()
3,03,08
5lg()52lg(
7234
-
29.
.
30.
.
31.
.
Ответы:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

29.
.
.
.
()
()
()
,0
,1514
41log3log
log2
log1
--
--
xx
()
()
2418
log2log1165log
---
----
xxxx
[]
2;4
[]
4;3
()()
--
;83;4

;4
;1
][
4;29;
--
()
--
log;4log
log;01;
][]
2;01;3
--
--
;11;5,4log
()
-
71;
()
()
328
log4log1322log
5,0
---
---
xxxx
()
()
----
;5222;11;
()
()
----
;6
2;22;
()
)(
5,1;7,00;4,05,1;
,1
---

721
33
;2,00;
][
)()
---
;862;5,36;4,9
(
][
7;45,2;14
-
][
)()
---
;530;5,13;4

;5,5
()
1;5,0
)5;2()4;7(
--
()

17;0
()
;5,61;5,0
,0

)()()
9;22;5,15,1;0

()
2;
;1
()()
5;31;1
-
()
4;0
22;31;22
-
()
()
3;55;3
--
()
()
3;11;3
--
()
2;
--
6. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
С ПЕРЕМЕННЫМ ОСНОВАНИЕМ
Рассмотрим функцию
.
По определению:
где
1.
Условия равносильности для МЗМ
1.
Вывод:
2.
Вывод:
)(
)(
xf
xay
()
()
)(
)(log)(
)(
)(log
)(
)(
)(
xaxf
xf
xa
xf
xa
xf
xay
==
>>
-
0)(,0)(
,0)()()(
xaxa
xfxaxa
>>
-
-
0)(,0)(
,0)()()(
0)()(
)(
)(
xaxa
xfxaxa
xaxa
xf
xf
.1,0,
>=
ccconstc
;0()(
.0)(
:)(
yE
xa
aDx
fDx
yD

-
0)()(
)(
)()(
)(
)(
)(
xaxgxaxf
xg
xf
xaxa
()(
)()()
-

0)()(1
)(
0)(
)()(
)(1
xgxfxa
xaxgxaxf
()()
--
0)(
0)()(1)(
xa
xgxfxa
()()
--
-
.0)(
,0)()(1)(
0)()(
)(
)(
xa
xgxfxa
xaxa
xg
xf
)(
)(
)(
)(:0)()(
xf
xf
xf
xa
xaxa
-
()
>>
-
>>
0)(,0)(
,00)(1
)(
)(
0)(,0)(
,0
)(
)(
)(
)(
)(
xaxa
xf
xa
xa
xaxa
xa
xa
xa
xa
xf
2.
Примеры с решениями
Пример 1.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 2.
Решите неравенство
(1)
Решение.
1)
.
2)
Ответ:
.
-<-
()
()
()
()
<---
>-
<---
,0
54214
04
,04
35
22
xxx
()()
()
()()()()
=---
-
=----
5,1
,033212
032
,0932132132
xxxx
xxxx
-=
.2
,1
,3

2;1;3
()()()()()()
>---
>----
.4
,0
335
,0
31414
xxx
xxx
()()

5;44;3
()()

5;44;3
23232
239
932
--
--
-
xx
xx
0,32
932
-=
-
xt
xx
()
()
-
-
-
,01
,012
,02
tt
()
.1
,01
=
=-
()
>-
=----
=---=
-
032
,00932132
032321
932
xxx
xx
Пример 3.
Решите неравенство
(
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду.
1) Пусть
.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 4.
Решите неравенство
(1)
()
()
--
--
-
xx
xx
()
()
,8
3524
-==--=--==
xxaaxx
xxxff
()
()
-<--
4log
cos
sin
()
-==
xxbb
()
>>
>>
-
-
.0,0
,0
0,0
,01
,0
,0
ba
ba
ba
ff
()
()
>>
-
>>
-
,0,0
,0
0,0
,001
ba
fba
ba
()(
()()()()
()
()
()()
--
=>
>-
----
-
>-
>-
--
07252
,02222
,0725234
3524
,0
,08
,0
3524
xx
xx
xxxx
xx
xxxx
()()()
---
5,3;
,07234
xxx

5,33;

5,33;
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду.
1)
2) Упростим правую часть неравенства
.
.
3)
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример
Решите неравенств

Решение.
1) Упростим неравенство (1).
.
2) Применим МЗМ.
-
>-
.3
,4
14
,04
()
()
()
()
()
()
cos
coslog
coslog2
coslog
4log
cos
-=
-=
-=
()
()
()()
-
--
01log1log01log14
xx
)()(
()()()()
----
-
,01414414
01log4log4loglog
()
()
()
<
<--
<
<--
3,4
,014
3,4
cos
sin
xx
xx
()()
<
<---
.3,4
,04
xx
()
()
()()
<
>-
<
<----
.3,4
,033
3,4
,00914
xx
xx
xx
xx
()()
4;33;3
-
()()
4;33;3
-
345
log
log

()
()
0440
48
43451
log
log
log
log
log
--

Ответ:
.
Пример 6.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду. Прим
ним МЗМ.
Ответ:
.
Пример 7.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Пусть
.
.
Применим МЗМ.
(2)
1)
.
()()
[]
[]
.4;
,0
,4;
,0
,0144

--
xx
[]
4;
,0
()
()()()
()
12log1log3,0,334
----=>=
xx
xxfxa
xa
xx
()()
()
()
()
()
01
>-
>-
xaxa
xa
xf
xf
()()()()()()()
01
001
>->--
xfxa
xfxa
()
0133401
--
xx
xa
0,3
>=
tt
()
()
,0
28log
xx
-
-
()
()
()
()
()
()
()
--
-
--
-
-
01
11
28log
28log5,0
2,0
2,0
xx
xx
xx
()
()
>-
-
--
01
,0128log11
2,0
xx
()
()
--
--
,02,0log
28log11
2,0
2,0
xx
()()
()()()
()()
<-
--
>-
----
024
,1
,0132
028
,1
,052812,02
xx
xxx
xx
xx
()()
()
][
.4;32;1
4;1
,032

--
xx
][
4;32;1
()
()
()
334
12log1log3

----
xx
xx
.
Или воспользуемся неравенством, связывающим среднее арифмет
ческое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел
при

Тогда
2)
Ответ:
.
Пример 8.
Решите неравенство
(1)
Решение.
1)
2) При
.
3) Умножим неравенство (1) на
.
-
-
.0
,014
,01
tt
)()
RxxaDttt
>-<>=>>-
01
0,040014
()
()
()
()
()
()
()
()
4log5log4
4log5log
1,3
7,1
3log
1,3
7,1
-
-
()()

->
->-
>
>
.6,5,4
,3
15,05
,14,04
,03
xxx
xx
()
01log4log3
1,3
1,3
=>
->
()
4log4
1,3
ztzt

.0,0

zt
()
()
.031
43342334
>-==
xa
xa
xx
xx
()()
()
()
>----
>
012log1log30
xx
xf
()()()
()()()()
()()
>-
>-
>----
>---
0112
,01
,0112113
0112log1log
xx
xxx
xx
()()
>---
>-
>----
,01212
01
,01211
xxx
xxx
()
()
.;4
,04
,04
,04

>-
>-
>-
xx
xx
4) Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 9.
Решите неравенство
(1)
Решение.


где
.
()
()
()
()
()
()
()
--
,0
1log5log
22
,0
5log
5log
7,1
7,1
3log
7,1
3log
7,1
()()
()()
()
()(
)()(
()()
---

-
---
--
xx
,0
1515
23log23log
,0
1517,1
43log12
()
()
()()
()
,154log,2
5log
4log
--=
-=
xxxfx
xf
()
()
1124
-=
-
xx
xxxf
()(
)()
()()
->
--
-
-
6,5,4,3
,0
46
1log
4log4log3log
xxxx
xx
()()()()
()()
()()
()()
->
--
-
->
--
----
.5,3
,0
46
41
5,3
,0
46
4124312
xx
xx
xx
xx
xx
[]
()()
6;55;41;
,2
-
[]
()()
6;55;41;
,2
-
()
()
()
()
1124
154log2
5log
4log
-
---
-
xx
xx
xx
()
()()
()
()()()

,0
21
fDfDfDx
xf
xfxf
1)
2)

Применим МЗМ. Замен
им функции
на функции
равного знака.
1)
2)
3)
()()()
()()
()()
.2
,015
,2
,022
0124
,054
,02
,04
>
>-
->
>-
>
>-
>
>-

Rx
xx
xx
xx
xx
fDfDfD
()
()
()()
()
,0
21
xf
xfxf
()
()()
-
-
,0124124
,0
xx
xx
xf
xx
)(
()()()
--
---
,05412
,00
91124
xxxx
xxxx
()()
--
.2
,054
xx
()
()
()
()
()
()
()
()
-
,055
,0
35
,0
2log4log
5log
2log4log
xf
()
()
()
()
()
()
---
--
,02413
,02log4log15
xx
()()
-
-
--
.2
,03
,023
,06
xx
xx
()
()
--
,07log54log
,0
xx
xf
()
()()
-
-
---
,026
,0
,075417
xx
xx
xx
()()
()
>-
.2
,0
,026
xf
xx

.
Ответ:
.
3. Примеры для самостоятельного решения
Решите неравенства:

.
3.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
()
()
()()
--
.2
,0
54
xx
41
41
472
274
-
--
-
xx
xx
22525
--
--
-
xx
xx
()
()
92
--
--

xx
xx
()
()
2log
sin
cos
>-
()
()
29log
cos
29
sin29
->--
()
()
-<--
5log
sin
cos
log
log

263
log
log

log
log

()
()
6log
12
12
xx
-
-
()
5;43;2

()
()
327log
--
-
xx
()
()
95log
log
()
log2log
-
xx
loglog2
--
xx
()
()()
22
9log3log2
-
xx
()
434
27loglog

-
xx
()
()
33
32loglog3
55
-
-
xxx
()
5;43;2
()()
72
-
--
xx
()
()
()
673
-
-<-
xx
()
()

xxxx
--
()
12


xx
()
115,2
<-
xx
.
.
27.
Ответы:
.
.
.
.
.
.
.
.
9.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
26.
.

()
()
()
()
9,1
1,2
1log
9,1
1,2
log
log9
log
log
-
-
()
()
()
()
()()
()
()
()
()
2log8log
2log8log4
4,5
1log
4,5
1log
-

-

5,0;0;2

6,0;2,0;4
[]

54;3
()()
5;55;5,5
---
()()
5,4;44;4
-
()()
5;42;2
-
9;

;6
;0
[]
5;2,0
][
3;21;5,0
()
()
()
()
33
135log1
23
96
-
-
-

xx
xx
xx

25,1;1
()
5;55;2
()()

;32;1
()()
2;1
,0;0
()
0;3
()
71;0
()
3;0
()
9;
)()()()

--
;99;88;77;6
;1
5;2
()
()
72loglog
39
---
-
xxx
xx
()()(
5;33;25,0;0

][

;76;5
()()
1;00;1
-
][]
0;5,01;2
---
[][
)(
3;22;15,0;2,0
-
][
-
;70;1
()()()
5,2;25,0;01;
--
7. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
С ПЕРЕМЕННЫМ ОСНОВАНИЕМ
Рассмотрим функцию
где
1.
Условия равносильности для МЗМ
1.
Вывод:
2.
)(log
)(log
)(log
)(
xa
xf
xfy
xa

0)(log)(log
)(
)(
xfxf
xa
xa
>=
1,0,
,0
)(log
)(log
)(log
)(log
ccconstc
xa
xf
xa
xf

)(log)(log
)(log)(log)(log
xaxa
xfxaxa
()()
()()()
()()()()
()
()
()
--
,0
,0
,0
11
xa
xa
xf
xaxa
xfxaxa
.1,0,
>=
ccconstc
.1)(
,0)(
,0)(
:)(
xa
xa
xf
yD

0)(log)(log
)(
)(
xgxf
xa
xa
>=
1,0,
,0
)(log
)(log
)(log
)(log
ccconstc
xa
xg
xa
xf

,0
1log)(log
)(log)(log
xa
xgxf
()()
<
--
.1)(0
,0)(
,0)(
,0)()(1)(
0)(
,0)(
,0)(
,0
1)(
)()(
xa
xg
xf
xgxfxa
xa
xg
xf
xa
xgxf

0)(log)(log
)(
)(
xgxf
xa
xa
()()
<
--
0)(
,0)(
,0)(
,0
1)(
)()(
1)(0
,0)(
,0)(
,0)()(1)(
xa
xg
xf
xa
xgxf
xa
xg
xf
xgxfxa
вод:
2. Примеры с решениями
Пример 1.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 2.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.
()()()()()()()()
()
()
()
()
<
<
----
.10
,10
,0
,0
111
xa
xa
xf
xaxaxfxaxa
()
()
()
()

log
log
xfxf
xa
xa
()
5,2sin
478log
-
()()()()()()()()
()
()
()
()()
)()()
()()()()
()
()
()
--
<
<
----
.0
,0
,0
,0
11
,10
,0
,0
111
12
12
xa
xa
xf
xaxa
xfxaxa
xa
xa
xf
xaxaxfxaxa
()
1592log
>--
xx
()
()
()
>----
05log592log1
xx
()
()
()
<-
<
>-
>--
->-
>-----
0295
,4,5
,03854
0592
,15,05
,0559215
xx
xx
xxx
xx
xx
xxxx
()()()
()()
<-
>-
0152
,5
,03514
xx
xxx
()
6,0;1
--
()
6,0;1
--

.
Ответ:
.
Пример 3.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.
()()
()
--
-
0178log
478log1
()
()()
>-
>
---
--
078
,1,0
,0781
0log78log
xx
xx
xx
()()
()
()()()
-
-
-
--
,1,1,0
,0811
,1,1,0
,08711
xxx
xxx
xxx
xxxx
()()
-

,1,1,0
,081
xxx
xx
()()
---
;11;00;18;
()()
---
;11;00;18;
()
21
log
32
-
()
()
.0
32
log1
log1
32
32
--
>-
--
01,1
32
,0
32
,0
32
11
32

.
Ответ:
.
Пример 4.
Решите неравенство
(1)
Решение.
()()()
()
---
>-
-
-------
0132
,01
,032
,01321321
xx
xxxxx
()
)(
----
-----
0132132
,1
,5,1
,019
4132
xxxx
xxxxx
)(
()()
--
-----
0432
,1
,5,1
,0
1013
4132132
xx
xxxxxx
()()()
()()

--

---
,2
,1
,5,1
,05443
,2
,1
,5,1
,054432
xx
xx
xx
xxx
()()


;22;5,15,1;
,1;1
()()

;22;5,15,1;
,1;1
2log2log
()
>
-
--
>
1log1log
1log1log
1log
1log
xx
xx

.
Ответ:
.
Пример 5.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.
Ответ:
.
()
()
()
()
()
()
()()
()
()
()
()
-
---
--
>>-
-----
---
1,1
,0
1111
11
01,01
,0
11121112
1112
xx
xx
xx
xx
()()
()()()()
()()
-
-
-
----
----
1,1
,0
22
1,1
,0
11111111
1111
xx
xxx
xx
xxxx
xxxx
()()()
()
()
()()
.5;44;2
,5;2
,5;2
,0243

>-
xxx
()()
5;44;2
()()
-
<-
.1,1
,022
xx
xxx
()()()
2;11;02;
--
()()()
2;11;02;
--
()
()()
5log63log
5log3
xx
--
>-
()
()
()
->-
-
>-
15,05
,363log
log3
xx
xx
()
()
<
>-
--
.4,5
,063log
log
xx
xx
()
()
()
()()
<
>-
-->
>-
<
>-
>-
>
>---
4,5
,2
,027
,3,4
,0823
4,5
,063
,0
,14,04
,063
514
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
xxxx
Пример 6.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду и прим
ним МЗМ.
1) Пусть
.
2)
Ответ:
.
Пример 7.
Решите неравенство
(1)
Решение.

1) Воспользуемся формулой перехода к новому основанию:
.
2)
3) Применим МЗМ.
()
()
1log7
6log7log
23
----<-
xxxx
()
23
--=
xxxxf
()
()()()
>---
07log1log
log1
xxf
()()()
()()()()
()
>
>->-
>----
>->-
>---
,1,0
,07,01
,071
07,01
,071log
log
xf
xx
xxxfx
xxxf
()()()
()
()
>----
>---
7;1
,0777
7;1
,071
23
xxxxxx
xxxf
()()
()
()()
()
()()
.7;32;1
7;1
,032
7;1
,032

>--
>--
xx
xxx
()()
7;32;1
()
()
()()
5log94log44
log32log
94
27
32
27


xx
ffa
logloglog
log
log
log
=
()
()()
>
>

-
.194,094
,132,032
,0
5log2log
27
27
xx
xx
.
Ответ:
.
Пример 8.
Решите неравенство
(1)
Решение.
.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
()()()
()
()
-->
->-
<
----
-->
-->
>>
->-
---
1,5,1
,2,2
,3,5,3
,0
54432
2,
,2
,1,5,1
,0
5,02
,127,027
,0
52127
xx
xx
xx
xxxx
xx
xx
xx
xxx
()
()
()
()()
()
()
-
-
-
-
-
-
-
---
3,1
,5,3;5,1
3,1
,5,3;5,1
,023
3,1
,5,3;5,1
,063
xx
xx
xx
xx
xxx
()
3;224;6
--
22
22
()()()
5,3;33;11;5,1
---
()()()
5,3;33;11;5,1
---
()
()
()
8log
86log
8log
8log

xx
()
()
08log86
log1
-
xx
()(
()()
()
()
()()
>
-
>-
-
>
->-
---
042
,3,3
,02222
,069
086
,18,08
,088618
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xxx
()()()
()
()
()()
>
-
>-
-
.042
,3,3
,02222
,0633
xx
xx
xx
xxxx
()
3;224;6
--
Пример 9.
Решите неравенство
(1)
шение.

1)
2)
Пусть
.
3)

.
Ответ:
.
Пример 10.
Решите неравенство
(1)
()(
log44
log
---
--
xx
xx
()
()()()
--
--
352
log2log
xx
()()
2;35,34;5
-----
()
()
65log165log1
----
xx
xx
()()
-->--
>
---
--
--
12,02
,15,05
,035log2
log2log
xx
()
()
()
()
()
----
-
--
--
.3,4,2;5
,02
log
log
xx
()
log
--=
()
()


-
-
.1
,0
12
02
tt
()
()
()
()()
()
----
=---
<---
.3,4,2;5
,05log2
log
,01log2
log
xx
()()
()(
()
()()
()()
()
()()
()
--
-=
>
---
=
>
----
=-----
<----
.2;5
,5,3
,034
4,2;5
,0724
,034
.3,4,2;5
,05215
,01215
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
()()
2;35,34;5
-----
Решение.
По свойству модуля
, следовательно,
(2)
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
Пример 11.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Упростим неравенство. Применим МЗМ.
aa
()
()
()
--=--
65log165log11
xx
xx
()
()
()
>-
->-
<-----
<
--
023
,12,02
,0232312
023log23log
xx
xxxx
xx
xx
xx
()()
()
()()
()
>
<---
>-
----
--
0,2
,02313
015,1,2
,023
1212
22
xx
xx
xx
xx
xx
()
()
.02log65log065log1
--
--
xx
xx
()
()
()
()
()()
>--
>
--
>-
>
---
032
,5,0,0
,06712
065
,12,02
,026512
xx
xx
xxx
xx
xx
xxxx
()()()
()()
>--
>
---
.032
,5,0,0
,01612
xx
xx
xxx
()
)(
6;32;15,0;0

()
)(
6;32;15,0;0

()
()
()
xx
xx
xx
23log23log49log

<-
()
()()
()
()
<
-
--
023log23log2323log1
xx
xx
xxxx

.
Ответ:
.
Пример 12.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Приведем неравенство (1) к каноническому виду.
1)
.
2)
.
3)
4) ООН:
5) Перейдем в неравенстве (2) к основанию (2
–3).
()()
()
()()()()
>
<-----
>
<---
0,2
,00215,113
0,2
,05,15,113
02
xx
xx
xx
xx
()()()
<---
.0
,0213
xxx
()()
()()
()
--
--
--
,01log
29log32log
1log29log
32
32
32
32
32
()()
3;21;0

()()
3;21;0
()
()
1log92
log
32
---
--
xx
xx
()()()()
xxxx
xx
xx
29329232
2724
2724
--=---=--=--
()
()()()()
1291929
29
--=---=--=--
xx
xxxxxx
()
()()
()()()
()
01log129
log1
32
2932
----
--
xx
xx
()()
()()
()()
()()
()
()()
--
--
>-
>-
>-
>-
->-
>--
--
>--
.12932
,2
,5,4;5,1
12932
,2
,029
,032
,01
01
,132,032
,0129
,12932
,02932
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Применим МЗМ.
где
.

.
Ответ:
.
Пример 13.
Решите неравенство
(1)
()()()()()
()
-
-------
xx
,0
29log1
1log29log1log1log29log
32
32
32
32
32
32
()()
()()
()
--
---
2,5,4;5,1
,0
3229log
1log129log
32
32
32
xx
()
)()()
()
---
----
.2,5,4;5,1
,0
1log
2724
4log
32log1log1log29log
32
32
32
32
32
32
xx
()()()(
()
()
-----
--------
2,5,4;5,1
,0
2724
4132
321132129132
xx
xxxx
()()()
()
()()
()
()()
()
--
-
--
--
---
,2,5,4;5,1
,0
2,5,4;5,1
,0
76
42
2,5,4;5,1
,0
2824
22842
xxxx
xx
xx
xx
xxx
23,23
=-=
()(
()
5,4;4;22;
xx

()
()
5,4;234;22;23
-
()
065
log
log
,0
2,0
23
<--
-
xx
xxx
Решение.
Применим МЗМ.

1) Неравенство (4) следует из неравенства (2).
2) Разложим многочлен
на множители, используя
схему Горнер

Квадратный трехчлен
.
3)

4) Разложим многочлен
на множители, используя
схему Горнера,
Квадратный трехчлен
.
5) Квадратный трехчлен
.
()
()
>--
-
>-
<-----
065
log
,1
2,0
,0
,0165
log1
2,0
,0
23
23
,0
23
xx
xxx
xxx
xx
xxx
()
()
()
()
()()
()
.732
-=
xxxxP
()()
()
43
-=
xxxxP
()
23
-=
xxxxP
0,0
073
<>>
DaRx
xx
()
()
()
()
()
()
()
>--
<--
>-
<------
065
,165
,0732
,0
,0651
,0
2514
23
xx
xx
xxx
xx
xxx
)(
<-
>-
>-
<--
065
,075
,02
,0
,65
23
xx
xx
xxxxx
()
()
()
()
()
23
-=
xxxxP
0,0
<>>
DaRx
xx
0,0
075
<>>-
DaRx
xx
6)
Ответ:
.
Пример 14.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Упростим неравенство (1). Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
()
()
()
()
()
()
()
()()
()()
<-
<--
<--
<--
03
,2
,05,23
032
,2
,05,2
43
xx
xx
xxxx
()
()
()
()()
.3;5,25,2;2
3;2
,5,2
3;2
,05,2

>-
()()
3;5,25,2;2
()
()
()
32log52log
27
7log144
22
-
-
xx
()
()
()
()()
()
()
>>
--
---

-
032,052
,1
,0
,0
32521
1222217
32log52log
77
122
22
xx
xxx
xx
()
()()()
)(
()()
->
----
--
->
--
--
0,5,1
,0
411
122122
5,1,0
,0
325211
122
xx
xxxx
xxxx
xx
xxxx
xx
()()
()()()()
()()
()()()
->
-
-
->
-
-
.0,5,1
,0
1211
133
0,5,1
,0
12211
133
xx
xxx
xx
xx
xxxx
xx
()
3;1
;5,01;5,1
----
()
3;1
;5,01;5,1
----
Пример 15.
Решите неравенство
(1)
Решение.
Применим МЗМ.

.
Ответ:
.
()
7log
4log
4log
3617
2log
92
---
--
xx
xx
()
()
()()

---
----
7log73
log
1log4log1log
3617
2log
92
92
xx
xx
()
()()
()()()
()()
>->->
>->
>-->-
----
-------
07,073,16,06
,04,192,092
,0
3617
2,15,05
,0
77316
141921
3617
215
xxxxx
xx
xxxx
xxx
xxx
()
()()
()()()()
()()
()
--->
<-->
>--<
---
---
7,7;3,5,6
,4,4,5,4
,0924,4,5
,0
7735
34
3517
24
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxxx
()()()()()
()()()
()
()()
()
-
--
-
--
----
.4;3
,0
372
4;3
,0
7375
345724
xx
xxxx
xxxxx
][
4;5,33;2

][
4;5,33;2
3.
Примеры для самостоятельного решения
Решите неравенства:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
.
6.
. 7.
.
8.
. 9.
.
10.

11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
. 19.
.
20.
. 21.
.
22.
.
()
1472log
12
<--
xx
()
123log
22
>-
xx
()
()()
xx
82log3log
56log2log
-<--
()
()
22
log23log2
xx
>-
()
()
13
13
36
log12log
xx
xx
--
-
()
()
1log5
7log5log
23
----<-
xxxx
()
()
()
xx
xx
-
-
5log3
log
7log
32
()
()()
2log13log
log12log
13
12


()
()
()
01
log1
log27log2
42
4928
-

-
-
xx
()
12
log2log
--
xx
()
()
()
9log
8log
9log
log

xx
()
7loglog
log
log
17
()
238
log
>-
xx
()
log67log
-
()
()
()
7log
log
7log
log2
()
2cos
6)89(log
-
()
()
22
5,0
log23log
coslog
xx
>-
2)2(log
52
-
()
13log
>
03
log
5,05,0
<
-
xx
()
04
log
-
xx
5log5log
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
. 28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
35.
.
36.
. 37.
.
38.
.
39.
.
40.
. 41.
.
42.
. 43.
)(
log
2510
log
>---
xx
xx
()()
345
log12
log
---
--
xx
xx
()
()
xx
xx
21log295log
45
---
--
)()
278log2
4914
log
---
-
xx
xx
()
023
log
log
,0
632
,0
23
<--
-
xx
xxx
()()
193loglog
<-
()
03loglog
-
xx
()
()
4loglog
-
()
loglog
loglog
32
()
()
()
()
log
loglog
322

-
-

xx
xx
xx
()
()
()
2610
log
log
log
1510

-
-

xx
xx
xx
()
()
log
4loglog
92
5,092

xx
xx
()()
345
log
8log
>---
xx
xx
()
()
()
()
2log2
log
3log25
2510
---
-
-
xx
()
45,05,0log
log2
5,05,0

()
()
45,01log1
log2
5,01
--
()
()
23log
9log
-
--
()
()
86log1186log
----
xx
xx
()
()
()
11
33
33
33
35log35log9
log
--

<-
xx
xx
xx
()
()

<-
22
22
22
log31log91log
()
()
()
12log12log14log

<-
--
44.
.
45.
.
46.
.
Ответы:
.
.
.
.
.
.
.
.
9.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

26.
.

.
.
31.
.
()
()
()
()
,0
51log5
log
2log13
12
---
-

xx
()
3log
log
5521
2log2log
27
27
----
-

xx
xx
()()
1;
,0
,0;5,0
---
5;520;52
-
()()()
----
;11;22;3
()()
1;22;3
----
()
;99;
()
3;5,11
()()
5;42;1
()()
5;31;2
--
()()
3;22;00;

()
5,3;3
()()
5log
2log
7log3
log
32
32
85
---
-
xx
()(
][
----
;42;57;
()
;36;8
--
)()
-----
0;
1;33;
-
;11;3
()
)()(
4;11;00;36;7
---
()()
4;5,35,3;3
()()
1;25,23;4
-----
()()
3;5,25,2;2
5,0
5,1
()
5;4
)(
8;42;1
;0

;1
;0
()()
0;5,01;5,1
---

()

;4,0
1;9
--
()
;99;
()()

;33;5,25,2;
,2;2
()()
---
;15,2;3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44.
45.
.
()()
0;12;3
---
)()
5,0;00;4222;5
----
25,12;04;25,12
----
()()
2;02;34;
----
()(
()
2,0;08,0;35;
----
()
1;5,01;2
---
()()
5;11;4,1
--
4;3
()()
2;5,15,1;1
()

log
2;
2;
log
()
6;3
()
1;1212;3
------
()
3;5
--
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ
ПРИ РЕШЕНИИ НЕРАВЕНС
1. Использование области определения функций
Пример 1.
Решите неравенство

(1)
Решение.

Проверим полученные значения на исходное неравенство (1).
1)

Ответ:
2. Использование ограниченности функций
2.1.
Использование неотрицательности функций
.
где
– решения системы
()
12223134
-----
xxxxxxx
()()
()()
()()
-
--
-
--
-
-
-
,03
,013
,013
,013
022
,023
,034
xx
xx
xx
xx
xx
()()
()
()
()()
()
()
()
()
=

.0
,0
,0
,0
,0
,0
xg
xf
xg
xf
xgxf
xg
xf
xgxf
()()
[]
--
.3
,1
3;1
,013
xx
.1
00
,1
=
.3
00
,3
=

.3;1
()()
()
()
()()
gDfDx
xg
xf
xgxf


,0
,0
()()
()
()
()()

>
,0
,0
xx
gDfDx
xg
xf
xgxf
()
()
.0
,0
xg
xf
Пример 2.
Решите неравенство
(1)
Решение.
(2)
где
1)

.
2) Так как
на
ООН
, то
.
Ответ:
.
Пример 3.
Решите неравенство
(1)
Решение.
(2)
где
1)
2)
3)
Ответ:
.
Пример 4.
Решите систему неравенств

()()
()
0121212
----
xxx
()()()
,0

xfxf
()
0252log1
---
xx
()()()
,0

xfxf
()
()
()
.252log
,1
--=
-=
xxxfxxf
052:
Rx
xx
>-
()
()
.0
44152
-=-
xf
xxx
()
()()
()()
()
()


,0
0,0
,0
xf
xf
xfxf
xfxf
()
.1
02224log
,1
0252log
,01
=
=-=-
=--
=-
xx
-
--
<-
2610
log
2610
log
,092
1216
xx
xx
xx
()
()
()()()
()()
.12,1212
-=
---=
xxfxxxf
()()()()
()
------
01121201212:
xx
xx
()()()()()
.0112011211212
------
xxx
xxx

-
;15,00;
()()
0,0

xfxf
()


-
;15,00;

-
;15,00;
Решение.
Решим неравенс
тво (1). Разделим (1) на
.
Решим неравенство (2).
1) Обозначим
Тогда
Ответ:
.
2.2. Метод мини-максов (метод оценки)
Пример 5.
Решите неравенство
(1)
Решение.
, (2)
()
()
=
;0
tx
aE
()
<
<-
01
02

()()
()
()
()()
()
()
()
()
xg
xf
xg
xf
xgxf
xg
xf
xgxf
()
176log7
--
--
xx
()
()
()()
xgxf
xx
--
776log1
.0000
<<-<
()
()()()
()
,1,
1,1;0,
=
-=
xa
xaxa
xa
()
()
,115
2610
-=-=
xxxxg
()()
.115
=<
xxgx
()
()
()()
()
()
.0
log,0
log
=
xgxfxgxf
xa
xa
()
()()
()
()
()()()
()
()
()
()
-
-
-
,0
,0
,0
,0
,0
xf
xf
xf
xf
xfxf
xf
xf
xfxf
()
()
()
()
()
()
-=
==-=
.5
,5
115
log
,0
log
xg
xg
xg
xa
xa
()
()
.5
,5
,0
-=
-=
где
Найдем
1)
Так как функция
возрастает на промежутке
.
2)
б)
Так как функция
возрастает на промежутке
, то
.
3)
Ответ:
.
Пример 6.
Решите систему неравенств

Решение.
Решим неравенство (1).
, (3)
()
()
()
.7,76log
=--=
xgxxxf
()
.0
,7
zg
()
zgy
)()
17;0
>=
()
)()
;1
=
xg
gE
()()
()
()
()()
()
()
()
()
,1
,1
,1
xg
xf
xg
xf
xgxf
xg
xf
xgxf
()
.3
12log
,3
717
,176log
=
==
=--
xx

()
()
-
32
log
,22sin3log
5,2
()()()
xgxf

()
()
()
.2237676
--=--=--==
xxxxxxtt
()
.2;0
,log
ttf
()
122;0
>=
at
()(
()
1;
-=
xf
fE
;0,3
-=
zxz
где
.
Найдем
1)
.
.
Так как функция
убывает на промежутке
, то
.
2)
3)
Ответ:
.
()
()
()
22,sin3log
-=
=
xgx
xf
.1
12
,2
=
()
()
)()
.1
;1
,2
--=
-=
xg
gE
zxg
()
()()
()
()
()()
()
()
()
()
-=
-=
-
-
-
-
,1
,1
,1
xg
xf
xg
xf
xgxf
xg
xf
xgxf
()
()
.0
13log03log
,0
122
,1sin3log
=
-=-=
-=-
-=
()
()
.0
015,2log
2log
log
,0
5,2
5,2
5,2
=
>=

[]
1;0,sin
=
uxu
[]
[]
4;3
1;0
,3sin3

==
uxt
()
[]
.4;3
,log
ttf
[]
()
=
1;0
4;3
()
[]
1;4log3log;4log
--=
fE
3.
Использование монотонности функций
Принцип монотонности для неравенств
Пусть функция
определена и строго монотонна на промежу
.
1. Если функция
возрастает на промежутке
, то
2. Если функция
убывает на промежутке
, то
Теорема о корне
1. Если в уравнении
функция
непреры
на и строго монотонна на множестве
, то уравнение имеет на
не
более одного корня
.
2. Если в уравнении
функция
непрерывна и
строго
возрастает
, а функция
непрерывна и строго
убывает
на множестве
, то уравнение имеет на
не более одного корня
.
Пример 7.
Решите неравенство
(1)
Решение.
1)
2) Функция
возрастает при
, как сумма
двух возрастающих функций.
()
tfy
.5,1032:
-
()
632
-==
xxxfy
5,1
()()()()
()()
()
()
-
-
,0
Mxt
Mxt
xtxt
xtfxtf
()()()()
()()()
()
()
--
-
,0
Mxt
Mxt
xtxt
xtfxtf
3632
-
xx
3) Так как
, то по теореме о корне
еди
ственный корень уравнения
.
4)
Ответ:
.
Пример 8.
Решите неравенство
(1)
Решение.
(2)
1)

где
.
2) Функция
возрастает при
, как сумма двух возраста
щих функций.
3) Так как
, то по теореме о корне
единственный
корень уравнения
.
4)
Ответ:
.
Пример 9.
Решите неравенство
(1)
Решение.

где
()
362342
=-=
()
7log4
-=
tttf
()
07343
=-=
()
tf
()
()
()()
-
373
,3
,3
xxt
ftf
()()
-
--
.2
,5
025
xx
xx
][
--
;25;
()
()
()
438log
2arccos86
arccos
--
---
xx
xx
()
xf
()
()
()
()()

,0
fDfDx
xf
xf
()
()
()
2arccos86arccos
---
xxxf
()()
438log
--=
xx
xf
()()()()
[]
.2;5,1
5,1
,2


fxf
xf
[]
2;5,1
()
73log14
xx
xx
---
()
()()
373log41
--
xxxx
.7
3,73
-=--=
txxxxt
()
()
-
.0
,0
,07log4
tf
tt
()
()
1)
где
.
2)

Применим МЗМ. Заменим функции
на функции равн
го знака.
1) Функция
убывает на
2) Функция
убывает на
. Так как
, то по те
реме о корне
единственный корень уравнения


.
Ответ:
.
()()
[]
-
-
>-
--
--
,3;1
,096
,076
08
,121
,1861
xx
xx
xx
fDfD
[]
[]
[]
,3;
3;1
,;
21
xx
Rx
xxx

()
[]
()
()
[]
()
[]
--
---
3;
,0
3;
,0862
3;
,0
xx
xx
xx
xxx
xx
xf
()()
[]
---
.3;
,025
xx
xx
()
xfy
[]
3;
xx
()
04
()
=
xf
()
[]
()()
[]
[]
()
[]
--
-
-
.3;
,04
3;
,04
3;
,04
3;
,0
xx
xx
xx
fxf
xx
xf
()
()
()()
[]
--
.3;
,0
25
xx
xx
23,23
=-=
()
()
()
()
[]
.3;
,0
xx
xf
xf
()
()
()
xf
()
xf
()()
ttfy
arccos
==
[]
-
1;1
[]
3;2
[]
3;2
4. Примеры для самостоятельного решения
Решите неравенства:

.
3.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
----
xxxxx
()()
686
xxxx
----
()
xxxxx
log17log2
--
()
cos
sin4sincos1log
-
--
xx
xx
xx
()
21sin12
xx
-
-
-
cos4
sin35
122
arctgx
arctgx
xx
()

52
log
cos222
xx
xx
14
----
xxx
()
4135log2
<--
xxx
()
8log
----
xx
xx
()
()
()
19log32log
34arcsin
arcsin
--
--
xx
xx
xx
log2
72
--
--
2014
log9
----
xxx
xx
()()
()
0111
-
xxx
()()
()
01741717
>-
xx
()()
021log
>--
xx
32
74
->--
xxx
xx
-
--
>-
.0
3712
log
3712
log
,044
xx
xx
()
124log5
--
--
xx
.
.
Ответы:
.
.
.
.
.
.
.
9.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
log
--
9328
45433
---
--
xxxx


5,0

[]
;5
1;0
][
--
2;

1;0
[]
3;1
[]
()

;62;1
()


8;6


---
;012;
-
--
0;
()()

;22;0
()
1;3
9. СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
1.
Примеры с решениями
Пример 1.
Решите систему неравенств

Решение.
Решим неравенство (1).

Решим неравенство (
)(
--
--
-
-
.0
143
253
,0
96log
1624
8log
5,0
xx
xx
xx
xxx
xx
()
()()(
()
,0
38log3log
-
--
xx
xx
xx
()
,2
,25,1,3
--==
xtxxt
()
()
()
()
>->
-
--
-
--
,0
8,0
,2
,0
812
,2
,0
8loglog
tt
tt
tt
()()
()()
>-
=-
>-
=-
025
,014
,043
,4
xx
xx
xx
xx
()()
---
;2145;
()
)(
()()
()()
()()

--
--

----
----
3452
3472
143143
253253
xx
xx
xxxx
xxxx
.

.
Ответ:
.
Пример 2.
Решите систему неравенств

Решение.
Решим неравенство (1).
.
()()

-
;5,35,2;
,0
,0;
,0
,0
52
72
()()
---
;5,35,2;2145;
()()
---
;5,35,2;2145;
()()
()
-
-

--
.0
6log
863
72
24
xxx
xx
()
>-
---
08
,082863
24
xxxxx
()()
-
---
>-

-
---
8;2
,0
6863
08
,02
,0863
,082863
24
24
24
xxxxx
xxx
xxxxx
()()
()()
-
-
-
-
-
--
8;2
,022
8;2
,024
8;2
,082
xx
xx
xx

8;22
-
Решим н
еравенство (

.

.
Ответ:
.
Пример
Решите систему неравенств

Решение.
Решим неравенство (1).
()
()()
()
()
()()
>>
--
-----

-
-
--
06,08
,0
1615
72318
1log6log
72
xx
xxxx
xx
()
()
()()
->
-
->
--
.6
,0
25
,0
37
xx
xxx
()
()
()()
-
--
01log1log01log15
xx
)()(
()()()()
----
-
,01515515
01log5log5loglog
][
--
;52;5

8;52
-

8;52
-
()
>--

.32log435log
35
log
log
()
()
--

0550
52
551
log
log
log
log
log
Решим неравенство (
(3)
.

.

.
Ответ:
.
Пример
Решите систему неравенств

()()
[]
.5;2,0
,0155

--
xx
()()
()
03
35log
35log2
>-
--
()(
5;8,38,0;7,0
()
()()
()
--
---
>-
-
.4
332log
32log332log
,12
86
xx
()
35log
-=
xt
()
()()
>
-
>
--
>--
14
43
03
tt
tt
()(
)()
()
>
--
--
--
1log35log
1log6
log
log35log
()()()()
()()
()()
--
>-
---
------
.6,0
,0
45
1019
035
,0
13512
16
12
3512
xx
()()

;8,38,0;7,0
()(
5;8,38,0;7,0
Решение.
Решим неравенство (1).

.
Решим неравенство (

.

.
Ответ:
.
()()()
()
>-
>----
>---
-
02
,008612
02
86
xxx
xx
()()()()()
>-
>--
>-
>---
.02
,043
02
,0243
xx
xxx
()()

;5,53;2
()()

;5,53;2
()()

;43;2
()
.,32log
Rtxt
-=
()
>
--
>
--
>-
-
04
tt
ttt
tt
()()
()(
)()
()
>
--
--
--
>
-
8log32log
1log64log4log32log
12
tt
()()()()
()()
()()
--
>-
---
------
.5,1
,0
7472
032
,0
83212
1641243212
xx
()()

;5,55,3;
,1
Пример
Решите систему неравенств

Решение.
Решим неравенство (1).

.
Решим неравенство (
1)
2)
()
()
--
--
.23535
,01log33log
29
92
xx
()
()
>-
=----
=---=
035
,0092135
035351
92
xx
()
()
()(
--
--
01log1log1log33log1
xx
()
()()
>-->-
>-
>
-------
01,15,05
,033
,13,03
,0111513313
xxx
xx
xx
xx
xxx
()
()
()()
()()()()
()

---
><
-->
---
4,5;1
,04122
1,4,5
,2,3
,024232
xx
xxxx
xxx
Rx
xx
xxxxx
()()
()

--
.4,5;1
,042
xx
xx
()
5;42

.0,5
92
>-=
txt
()
()
.1
,01
,012
,02
=
-
-
-
tt
Ответ:
.
Пример 6.
Решите систему неравенств

Решение.
Решим неравенство (1).
Решим неравенство (
()()()
()()()
=---
-
=----
.5,4
,2
,0923634
035
,092135135
xxx
xxx
()
()
()

.5,4
,2
5,4
,2
,5;42

5,4;2
-
-
--
.5log
2110
log
,2
42
2294
5,0
15,0
xx
()

-

---
42
8292
42
822
22294
5,0
5,0
5,0
5,0
()()
()()

--

--
22
2222
42
1282
25,0
5,0
()()()()
()()
()
[]
()
.;43;0
25,012
012312


--
----
xx
()
()
>-
>
---
--
2110
,12,02
,05
2110
12
05log
2110
log2
xx
xx
xxx
xx
,
.
.
.
Ответ:
.
Пример 7.
Решите систему неравенств

Решение.
Решим неравенство (1)
()()
()
()()
()()()()
()()
>--
-
---
>--
-
--
.037
,5,0,5,0,0
,0281212
037
,5,0,5,0,0
,0
1610
1212
xx
xxx
xxxx
xx
xxx
xxxx
()()
)(
8;73;25,0;00;5,0
-
()
()
()
)(
8;73;25,0;0

()
)(
8;73;25,0;0

---
-
2720
5234
,0
66
14
log143
67
4log
xxx
()
()

-
-
01log
66
14
log441
067
xx
()
()
>
----
66
14
,1,0
,01
66
14
106714
xx
xxx
Решим неравенство (
.

.
Ответ:
.
2. Примеры для самостоятельного решения
Решите системы неравенств:
()()()(
()
.5,3;1
,072
1,1,0
,0
66
66141167

--
>>
---
xxx
xxxxx
()
------
025235202523
2520
42
xx
xxx
()()
()
--
--
-

.0
5,3
5,3
629
2115
24
xxx
xx
()
>-
-
.54log223log2
,2
35
23
log
log
()
()
----
0152252
xx
()()()()
------
0152152252252
xxxx
()()()()
.0233272
----
xxxx
[][]
5,3;32;5,1

[][]
5,3;32;5,1

[][]
5,3;32;5,1
)(
--
--
--
--
-
.0
43
2392
,0
82
6log44log
,0
xx
xx
xx
xx
xxx



Ответы:
.
.
.
.
.

.
.
9.
.
.
.
()
-

.2274log
65
log
log
xx
()
()()
()
--
---
<
--
.2
125log
825log25log
,13
xx
9;6
;1
4;1
()()
1;12;3
---

5,2;2

2,1
()(
;95,0;0
[]

43;2
[]
3log;1
5,1
[]
1;0
()
()
--
-
.29494
,075log2log
27
xx
()()
--
-
.2
,04log1log
2,1
2,1
-
--
.6log
3613
log
,5
556
5,0
15,0
xx
---
-
-
5228
2744
,0
32
log152
893
5log
xxx
xx
--
--
--
.043629
,0
17log
xxx
()
--
--
.042346
,4log82
log
xx
xx
()
)()
-----
;4312;
1115

34;5
--
ТЕРАТУРА
Алгебра и начала математического анализа: 11 кл.: учеб. для о
щеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /
С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников,
А.В. Шевкин.–7-е изд., доп.–М.: Просвещение, 2008. – 464с.
Дорофеев Г.В. Обобщение метода интервалов
Математика в
школе.–
–№3.
ЕГЭ 2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30
вариантов. / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –
Национальное образование, 2011. – 192с. (ЕГЭ-2012. ФИПИ –
школе).
Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к
ЕГЭ. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 304
Коропец З.Л. Иррациональные неравенства: методическое пос
бие. / З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева.
Орел: ОрелГТУ, 2008. –
Коропец З.Л. Математика. Практикум для подготовки к Единому
государственному экзамену (ЕГЭ): практикум для вузов. /
З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева. – Орел: ОрелГТУ,

Коропец З.Л. Математика: учеб. пособие: в 4 ч. / З.Л. Коропец,
А.А. Коропец, Т.А. Алексеева. –Орел: ОрелГТУ. – Ч.1. Уравн

– 75с.; Ч.2. Неравенства. –
– 78с.
Коропец З.Л. Математика. Варианты сложных задач единого го
ударственного экзамена (ЕГЭ) и образцы решений: учеб
методическое пособие. / З.Л. Коропец, А.А. Коропец,
Т.А. Алексеева. – 2-е изд. доп. – Орел: ОрелГТУ, 2008. – 28с.
Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступ
тельных экзаменах / И.И. Мельников, И.Н. Сергеев. –
Издательство Московского университета, 1990. – 303с.
Моденов В.П. Метод декомпозиции при решении трансценден
ных уравнений и неравенств
Математика в школе. –
– №5.
Сергеев И.Н., Панферов
С. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С3.
Уравнения и неравенства. / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –
М.:МЦНМО, 2011. – 72с.
constCxf
==
)(
)(
xfy
)()(
xgxf
)(
xgy

()
()

1,0,
>=
aaconsta
)1;0(
()
xg
()
xf
()
xf
()
3,2,1,
ixf
()
4,3,2,1,
ixf
()

;4
()
03
)4(
log)4(log5log
>-

][
)()()()

;44;33;22;1
,1log;1
][
)()()()

-
;44;33;22;1
,1log;1
,1log02log
,1log1log
<<<<
()()
->
--
.4,3,2,2
,0
,1log1
xxxx
xx
()()()()
()()
()()
->
---
>
--
----
4,3,2,2
,0
27log1
4,3,2,02
,0
1216
127log112
xxxx
xx
xxxx
xx
,1log
()
()
>--
,035log4log34log
5log
()
()()
()
()()
->-
-
-
.13,03
,0
1log2log
22
12
7log1
xx
()
()
()
()
()
()
()
()
()
-

-
-
-
03log
,0
2log
22
2log3log
22
7log1
7log1
xx
xx
()
xf
()()()
xfxfxf
321
,,
()
()

()
gE
()
tfy
()
fE
()
()
()()
.,
gEfE
()
()
()
()

Приложенные файлы


Добавить комментарий