Методика обучения младших школьников решению задач с пропорциональными величинами

Методика работы над задачами, связанными
с пропорциональными величинами.

ПЛАН
1. Методика работы над задачами на нахождение четвертого пропорционального.
2.Методика работы над задачами на пропорциональное деление..
3. Методика работы над задачами на нахождение неизвестных по двум разностям.

В начальных классах рассматривается решение задач, связанных с пропорциональными величинами следующих видов:
-задачи на нахождение четвертого пропорционального;
-на пропорциональное деление;
-на нахождение неизвестных по двум разностям.
Кроме того, специально рассматриваются задачи, связанные с движением.

Решение этих задач основывается на знании связей между величинами. Например, чтобы найти стоимость товара нужно его цену умножить на количество. Следовательно, в подготовительную работу необходимо включить:
-знакомство с новыми величинами;
-раскрытие связей между величинами.

Методика работы над задачами на нахождение четвертого пропорционального.

1.Структура задач
-даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью;
-одна величина постоянная (ее значение не меняется), две-переменные;
-даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой;
-второе значение этой величины является искомым.

2.Классификация задач.
(См. табл. 1 на примере задач с величинами: цена, количество, стоимость)

3.Способы решения задач.
Каждую из задач, представленных в таблице, можно решить способом нахождения значения постоянной величины (названия способов детям не сообщается ). Вначальных классах преимущественно используется этот способ.
Например, рассмотрим решение задачи 1:

За два кг моркови уплатили 30 руб. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови?

Решение:
1) 30 : 2= 15 (руб.)-цена моркови.(значение постоянной)
2)15*6=90(руб.)
Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови.
Для задач 1 и 2 видов этот способ называется также способом приведения к единице.
С целью подготовки детей к усвоению в курсе основной школы( 5-9 кл.)функциональной зависимости необходимо познакомить младших школьников со способом решения, основанном на понятиях прямой и обратной пропорциональной зависимости.
Делая прикидку результата, выясняем, какое число получится в результате решения: больше или меньше какого-либо из данных чисел(за 6 кг уплатили больше или меньше, чем за 2кг?), уточняем почему, используя наглядные пособия, узнаем, что количество моркови увеличилось в 3 раза и, следовательно, денег потребуется также в 3 раза больше.

Решение:
1)6:2=3-в 3 раза стало моркови больше.
2)30*3=90(руб.)
Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови.
4.Организация подготовительной работы.
Для введения задач на нахождение четвертого пропорционального необходимо познакомить детей с величинами цена, количество, стоимость и связями между ними. Например, можно на уроке провести игру в «магазин»: На доске товары, к которым прикреплены этикетки с указанием цены
У: Сегодня будем играть в «магазин» и решать задачи про покупки.
Что продается в магазине? (Называют)
На вещах обозначена цена. Назовите цену тетради, блокнота,
Что показывает цена?
Сколько стоит 1 тетрадь, 1 блокнот?
Купили 3 тетради. Что означает число 3? (Сколько купили тетрадей) Иначе говорят, число тетрадей или количество тетрадей.
Купили 4 блокнота. Что обозначает число 4?
К доске прикрепляют 4 блокнота, под каждым записана цена «10 руб.»
У: Сколько денег надо уплатить за 4 блокнота?(40 руб.) Как вы узнали?(10*4=40)
Почему умножали?
40руб.-это стоимость блокнота.
На доске запись:

Цена Количество Стоимость
10 руб. 4 блокнота ?


У: Что известно в этой задаче? Что нужно найти? Каким действием находили?
Далее начинается игра: один ученик становится продавцом, остальные покупателями. Покупатели покупают несколько вещей. Одновременно составляются и решаются задачи про эти покупки, причем каждый раз устанавливается связь: известны цена и количество, находим стоимость умножением.
Аналогично ведется работа по ознакомлению с величинами других групп. При этом на этапе ознакомления со связями между ними важно выполнять предметные иллюстрации (например, изобразить 3 пакета, под каждым написано «2 кг»), а при выборе арифметического действия сначала опираться на конкретный смысл арифметических действий (например, в 1-м пакете-2 кг муки, во 2-м -2 кг и в 3-м -2 кг; по 2 взяли 3 раза, надо 2 умножить на 3), после чего формулируется вывод (чтобы найти общую массу пакетов надо массу одного пакета умножить на их количество).
Одновременно с работой по закреплению знаний о связях между величинами следует наблюдать за изменением одной величины в зависимости от изменения другой при неизменной третьей Например, решаем ряд односюжетных задач: «Блокнот стоит 10 руб. Сколько будут стоить 2 блокнота, 3 блокнота, 4 блокнота, 12 блокнотов, 15 блокнотов?» Решение записываем в таблице:

Цена блокнота
5
5
5
5
5

Число блокнотов
2
3
4
12
15

Стоимость блокнотов
10
15
20
60
75


Прослеживая изменение величин, дети устанавливают: при увеличении числа блокнотов, их стоимость увеличивается, при уменьшении количества стоимость уменьшается.
Аналогично можно пронаблюдать и другие зависимости.

5.Ознакомление с решением задач.
Первыми рассматриваем задачи с величинами: цена, количество, стоимость, т. к. дети имеют больший опыт оперировать этими величинами, причем сначала включаем задачи 1-го вида (см. табл. 1).
Сначала задачи иллюстрируем рисунком и выполняем краткую запись в таблице:
Цена
Количество
Стоимость

Одинаковая
6 тетрадей
3 тетради

12 руб.
?


При анализе условия дети объясняют, что показывает каждое число, что требуется найти, что необходимо узнать, чтобы ответить на вопрос .
Проверка выполняется способом составления и решения обратных задач.

6.Закрепление умения решать задачи.
После решения нескольких задач 1-го вида с величинами цена, количество, стоимость вводятся задачи этого же вида с другими величинами, а затем предлагаются задачи других видов Выполняются упражнения творческого характера по сравнению нескольких задач одного вида, различных видов, по составлению задач.

Методика работы над задачами на пропорциональное деление.

1.Структура задач
-даны две переменные величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью и одна постоянная;
-даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной;
-слагаемые этой суммы являются искомыми.

2.Классификация задач.
В начальной школе решаются задачи только с прямо пропорциональной зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице 2

3.Способы решения задач.
В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины

4.Организация подготовительной работы.
Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.

5.Ознакомление с решением задач.
Начинаем работу с решения задачи на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связь между задачами этих видов, что позволит обобщить способы их решения.
Предлагаем детям составить задачу по краткой записи:

Цена
Количество
Стоимость

Одинаковая
6 тетрадей
4 тетради

18 руб.
?


После ее решения учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (12 руб.) Затем он предлагает найти стоимость всех тетрадей (30 руб.), и составить задачу по новому условию:

Цена
Количество
Стоимость


Одинаковая
6 тетрадей

4 тетради

?
30 руб.
?


Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два вопроса: «Сколько уплатил первый покупатель?» и «Сколько уплатил второй покупатель?» учитель поясняет , что эти два вопроса можно заменить одним: «Сколько денег уплатил каждый покупатель?» Задача формулируется в окончательном виде.
У: - Что требуется узнать в задаче?
-Что значит «каждый»?
- Можно ли сразу узнать, сколько уплатил первый мальчик?
- Почему нельзя?
- Можно ли сразу узнать цену тетради?
-Почему нельзя?
-Можно ли сразу узнать, сколько купили тетрадей на 30 руб.?
-Почему можно?
-Что узнаем первым действием; вторым; третьим; четвертым?

Далее решаются готовые задачи. При этом надо сначала расчленить вопрос задачи на два вопроса; выяснить, которое из искомых чисел должно быть больше и почему.
Затем переходят к составлению плана решения, ведя рассуждение от вопроса к числовым данным.
Проверка решения выполняется установлением соответствия между числами, полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно получиться число, данное в задаче.

6.Закрепление умения решать задачи.
Для обобщения способа решения предлагаются задачи 1-го вида с другими группами величин, затем вводятся задачи 2-го вида и несколько позднее 3-го и 4-го видов.

Методика работы над задачами на нахождение неизвестных по двум разностям.

1.Структура задач
-даны две переменные и одна постоянная величина;
-даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной;
-сами значения этой переменной являются искомыми.

2.Классификация задач.
В начальной школе решаются задачи только двух видов. Эти задачи представлены в таблице 3.

3.Способы решения задач.
В начальных классах эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины

4.Организация подготовительной работы.
Подготовкой к решению задач этого типа предлагают задачи-вопросы и простые задачи, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями. Например:

1)Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них уплатил больше денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатит столько же денег, сколько уплатила сестра?

2)Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?

5.Ознакомление с решением задач.
Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала предлагается задача не в готовом виде, а составляется из задачи на нахождение четвертого пропорционального, затем включают готовые задачи.
Рассмотрим это на конкретном примере.

Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи:

Цена
Количество
Стоимость

Одинаковая
I-6 м
II-4 м
180 руб.
?


После ее решения в краткую запись подставляется число, полученное в ответе,-120 руб.
Учитель предлагает найти разность стоимостей (60 руб.) Выясняется, что показывает это число. Учитель выполняет новую краткую запись, по которой дети составляют задачу:

Цена
Количество
Стоимость

Одинаковая
I-6 м
II-4 м
?на 10 руб. больше
?

На доске и в тетрадях можно выполнить иллюстрацию:
I








II





Выясняется, почему 1-й покупатель заплатил больше, чем 2-й; за сколько метров 1-й уплатил столько же денег, сколько 2-й; за какую материю он уплатил 10 руб.

На чертеже появляется запись:
I








10 руб.
II







Затем составляется план решения.

6.Закрепление умения решать задачи.
1) решение задач 1-го вида с различными группами величин;
2) решение задач 2-го вида
3) упражнения на преобразования задач (например, по задаче на нахождение четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по двум разностям и сравнить их решение.)

Контрольные вопросы.
1.Перечислите основные виды задач на движение.
2.Почему на этапе ознакомления с новым видом задач детям предлагают задачи именно с величинами цена, количество, стоимость, а не с другими группами величин?
3.Обоснуйте последовательность введения новых видов задач .
4. Охарактеризуйте методику работы над задачами каждого вида. Классификация задач на нахождение четвертого пропорционального.
№п/п
Величины
Задачи
Схематическая запись задач


Цена
Количество
Стоимость



1
Постоянная
Даны два значения
Дано одно значение, а другое являет
ся искомым
За два кг моркови уплатили 30 руб. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови?
Ц К С
? 2кг ?
Одинаковая
? 6 кг ?

2
Постоянная
Дано одно значение, а другое являет
ся искомым
Даны два значения
За 6 кг моркови уплатили 90 руб.Сколько кг моркови по такой же цене можно купить на 30 руб?
Ц К С
? 6кг 90 руб.
Одинаковая
? ? кг 30 руб.

3
Даны два значения
Постоянная
Дано одно значение, а другое являет ся искомым
За кусок ткани ценой по 60 руб. уплатили 240 руб.Сколько упла
тят за кусок ткани такой же дли-
ны,если его цена 120 руб.за метр?
Ц К С
? 6кг 90 руб.
Одинаковая
? ? кг 30 руб.

4
Дано одно значение, а другое являет
ся искомым
Постоянная
Даны два значения
За кусок шелковой ткани ценой 120 руб.уплатили480 руб., а за кусок льняной ткани такой же длины уплатили 240 руб. Какова цена льняной ткани?
Ц К С
120 руб ? 480 руб.
Одинаковое
? ? 240 руб.

5
Даны два значения
Дано одно значение, а другое являет
ся искомым
Постоянная
За 5 костюмов ценой по 200 руб. уплатили столько же , сколько за детские куртки ценой по 500 руб. Сколько купили детских курток?
Ц К С
200 руб. 5к. ?
Одинаковая
500 руб. ? кг ?

6
Дано одно значение, а другое являет
ся искомым
Даны два значения
Постоянная
За 3 детских куртки ценой по 500 руб. уплатили столько же, сколь
ко за 10 костюмов. Какова цена костюма?
Ц К С
500 руб. 3к. ?
Одинаковая
? 10 к. ?






Классификация задач на пропорциональное деление.

№п/п
Величины
Задачи
Схематическая запись задач


Цена
Количество
Стоимость



1
Постоянная
Даны два значения
Дана сумма значе ний, соответству ющих количеству
Найти слагаемые.
Маша купила по одинаковой цене 6 тетрадей в клетку и 4 тетради в линейку. Всего она уплатила 30 руб. Сколько стоили тетради в клетку и в линейку в отдельности?
Ц К С
К. ? 6 т. ?
Одинаковая 30р.
Л. ? 4 т. ?

2
Постоянная
Дана сумма значе ний, соответству ющих стоимости.
Найти слагаемые
Даны два значения
Маша купила по одинаковой цене тетради в клетку и линейку, всего 10 штук. За тетради в клетку она уплатила 18 руб., а за тетради в линейку 12 руб. Сколько было куплено тетрадей в клетку и в линейку в отдельности?
Ц К С
К. ? ? 18 р.
Одинаковая 10 т.
Л. ? ? 12 р.

3
Даны два значения
Постоянная
Дана сумма значе ний, соответству ющих цене.
Найти слагаемые
В магазине продали одинаковое количество папок и альбомов. Папка стоила 50 руб., а альбом 30 руб. За все проданные вещи выручили 1600 руб. Сколько стоили все папки и альбомы в отдельности?
Ц К С

П. 50 р. ? ?
Одинаковое 1600 р.
А. 30 р. ? ?

4
Дана сумма значе ний, соответству ющих стоимости.
Найти слагаемые
Постоянная
Даны два значения
В магазине продали одинаковое количество папок и альбомов. Папка с альбомом стоят 80 руб. За все папки выручили 1000 руб., а за все альбомы 600 руб. Сколько стоили папка и альбом в отдельности?
Ц К С
П. ? ? 1000 р.
80 р. Одинаковое
А. ? ? 600 р.




Классификация задач на нахождение неизвестных по двум разностям.

№п/п
Величины
Задачи
Схематическая запись задач


Цена
Количество
Стоимость



1
Постоянная
Даны два значения
Дана разность значений, соответствующих количеству.
Найти каждое значение..
На костюмы для участников хора купили по одинаковой цене два куска ткани: в одном было 18 м, в другом 15 м. За первый кусок уплатили на 210 руб. больше, чем за второй. Сколько стоит каждый кусок материи?
Ц К С
1. ? 18 м ?, на 210 р. б.
Одинаковая
2. ? 15 м ?

2
Постоянная
Дана разность значений, соответствующих стоимости.
Найти каждое значение
Даны два значения
На костюмы для участников хора купили по одинаковой цене два куска ткани: за один кусок уплатили 1260 руб., а за второй 1050 руб. В первом куске было на 3 м ткани больше, чем во втором, Сколько метров ткани было в каждом куске?
Ц К С
1. ? ?, на 3р. б. 1260 р.
Одинаковая
2. ? ? 1050 р.



15

Приложенные файлы


Добавить комментарий