Вычисление расстояния от точки до плоскости через объем пирамиды.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Задания С2:

нахождение расстояния от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости


это длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости. Для многих
выпускников проведение такого перпендикуляра далеко не очевидно. Однако в большинстве
случаев задачу можно
решить и без построения нужного отрезка. Расстояние от точки до плоскости можно вычислить как высоту

подходящей пирамиды, воспользовавшись формулой о
бъема.

Задача.От
ре
зок

AC


диа
метр ос
но
ва
ния ко
ну
са, от
ре
зок

AP


об
ра
зу
ю
щая этого ко
ну
са и

AP

=

AC

.
Хорда ос
но
ва
ния

.C

со
став
ля
ет с пря
мой

AC

угол 60°. Через

AP

про
ве
де
но се
че
ние ко
ну
са плос
ко
стью,
па
рал
лель
ной пря
мой

.C
. Най
ди
те рас
сто
я
ние от цен
тра ос
но
ва
ния ко
ну
са

O

до плос
ко
сти се
че
н
ия, если
ра
ди
ус ос
но
ва
ния ко
ну
са равен 1.

Решение.


Расстояние от точки
О
до плоскости

A5
P


это длина высоты
Н
пирамиды
О
A5
P
.
Т.к.
V
О
A5
P

=
S


A5
P

H
,
то


Н
=
.
3
AP
OAP
S
V


С другой стороны
,
V
О
A5
P


=

V
P
О
A5

=

S


A5
О


РО.


S


A5
О
=
A5

ОК,

S


A5
P

=

A5

КР,
значит,



Н=
KP
PO
OK
KP
A
PO
OK
A








2
1
2
1
3
1
3
.

В


P
О
5

О
5

= 1,
P
5

= 2,
тогда

P
О=
.
3
1
4





АО
5

равносторонний
,
т.к.

АО = О
5
,
ACB
AO



= 60
о

(
т.к. плоскость

A5
P
//
.C
, то
A5

//

.C
). Значит,

АК =

A5

=

,
тогда
ОК =
2
3
4
1
1


.

По теореме Пифагора для

РОК РК =
.
2
15
4
3
3
2
2




ОК
РО

В результате
Н

=

.
5
15
15
3
2
15
3
2
3




Ответ.

2
15




Приложенные файлы


Добавить комментарий