ТОНКМ с методикой преподавания для студентов 2 курса заочного отделения

Тема 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Большую часть знаний об окружающей нас действительности мы получаем с помощью рассуждений. Знание будет истинным, если оно получено путем правильного рассуждения, а таким считают рассуждение, построенное по правилам логики.
Рассуждения лежат в основе доказательства, без которого трудно представить математику. Но тех представлений о доказательстве, которые возникли у вас в процессе конкретных доказательств, конечно, недостаточно, чтобы обучать доказательству младших школьников. Учителю нужны более глубокие знания о тех правилах, в соответствии с которыми строятся правильные рассуждения, нужны знания о структуре и способах доказательства, о взаимосвязи индукции и дедукции.
Эти вопросы и будут рассмотрены в данной лекции.

1. Умозаключения и их виды
В логике вместо термина «рассуждения» чаще используются (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.
Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.
Умозаключение состоит из посылок и заключения.
Посылки - это высказывания, содержащие исходное знание.
Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.
В умозаключении из посылок выводится заключение.
Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники, изучая математику.
Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 - двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».
Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна посылка общего характера - это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая - частная, она характеризует только число 23 - оно двузначное. Заключение - это предложение, которое стоит после слова «следовательно», - также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.
Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что 6
· 3 = 3
· 6, 5
· 2 = 2
· 5, 3
· 7 = 7
· 3. А затем, на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и b верно равенство а
· b =b
· а.
В данном умозаключении посылками являются первые три равенства, в них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера - переместительное свойство умножения натуральных чисел.
Видим, что умозаключения бывают разные. В примере 1 заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности. Такие умозаключения называют в логике дедуктивными.
I
Определение. Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.
Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А1, А2, ... , Аn, а заключение - буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так: А1, А2,,Ап => В.
А1, А2,, Аn
Часто используют такую запись: B В ней черта заменяет слово «следовательно».
В примере 1 рассмотрено дедуктивное умозаключение. В дедуктивном умозаключении всегда, когда истинны посылки, истинно и заключение.
Умозаключение, которое рассмотрено в примере 2, отлично от первого. В нем приведены три посылки частного характера, которые показывают, что некоторые натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произведение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаключения называют неполной индукцией.
Определение. Неполная индукция- это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.
Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу.
Вообще к выводам, полученным с помощью неполной индукции, надо относиться критически, так как они носят характер предположения, гипотезы и нуждаются в дальнейшей проверке: их надо либо доказать, либо опровергнуть.
Несмотря на то что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания велика. Почти все общие положения и, в частности, научные законы являются результатом умозаключений, называемых неполной индукцией.
Существует еще один пример рассуждений - по аналогии.
Слово «аналогия» в переводе с греческого означает «соответствие, сходство».
Вообще под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.
Аналогия помогает открывать новые знания, способы деятельности или использовать усвоенные способы деятельности в измененных условиях.
Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.
Например, ученик установил, что число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Затем, действуя по аналогии, сделал вывод: число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. Чтобы убедиться в ложности полученного вывода, достаточно привести контрпример: число 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8.
Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приведем несколько примеров.
Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов. Например, если при изучении классов установлено, что в классе единиц три разряда - единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда-единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии.
Аналогия может быть использована для установления отношений между данными объектами. Например, учащиеся установили, что 4(3 + 7) > 4
· 3 + 4
· 6, так как 4
· (3 + 7) = 4
· 3 + 4
· 7, а 4
· 7 > 4
· 6. Рассматривая затем выражения 3
· (8 + 9) и 3
· 8 + 3
· 7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3
· (8 + 9) > 3
· 8 + 3
· 7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычислений.
Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа. Так, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27
· 3 = (20 + 7)
· 3 = 20
· 3 + 7
· 3 = 81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712
· 4 = (700+10 + 2) 4 = 2800 + 40 + 8 = 2848. Далее по аналогии устанавливают, как умножить 6288 на 3.
Следующим шагом может быть обобщение, т.е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное, т.е. использование неполной индукции.
2. Схемы дедуктивных умозаключений
Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умозаключения. Согласно определению (п. 1), в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение.
В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных (правильных) умозаключений. Правил много, но наиболее часто используются следующие: А(х)=>В(х), А(а) - правило заключения;
В(а)
А(х) => В(х), 13 EMBED Equation.3 1415 - правило отрицания;
А(а)
А(х) => В{х), В{х) => С(х) - правило силлогизма.
А(х) => С(х)
Выясним, что обозначают все знаки, использованные в записи этих правил; как их применять на практике.
Рассмотрим, например, правило заключения. В нем обозначены две посылки А(х) => В(х) и А(а). Первую называют общей посылкой, это может быть теорема, определение и, вообще, предложение вида А(х) => В(х). Вторую посылку А (а) называют частной, она получается из условия А(х) при х = а. Предложение В(а) - это заключение, оно получается из В(х) при х = а. Посылки отделены от заключения чертой, которая заменяет слово «следовательно».
Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения:
Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5.
В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение вида «если А(х), то В(х)», где А(х) - это «запись числа х оканчивается цифрой 5», а В(х)- «число х делится на 5». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей при х = 135 (т.е. это Л(135)). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 135 (т.е. это 5(135)).
Приведем теперь пример умозаключения, выполненного по правилу отрицания.
Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5.
Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же, как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5.
Заключение - это отрицание предложения «Запись числа 177 не оканчивается цифрой 5».
И, наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма.
Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3.
В этом умозаключении две посылки вида «если А(х), то В(х)» и «если В(х), то С(х)», где А{х)- это предложение «х кратно 12», В(х) - предложение «х кратно 6» и С(х) - предложение «х кратно 3». Заключение представляет собой высказывание «если А (х), то С(х)».

3. Способы математического доказательства
В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. В математике проверка и доказательство - это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он - прямоугольник.
Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у которого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.
Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360°, то и в данном она составляет 360°. Сумма трех прямых углов равна 270° (90°
·3 = 270°), и, значит, четвертый имеет величину 90° (360°- 270° = 90°). Если все углы четырехугольника прямые, он - прямоугольник. Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Заметим, что сущность проведенного доказательства состоит в построении такой последовательности истинных утверждений (теорем, аксиом, определений), из которых логически следует утверждение, которое нужно было доказать.
Вообще доказать какое-либо утверждение- это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
Основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство - это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.
Например, в приведенном выше доказательстве можно выделить следующие умозаключения:
В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360°; данная фигура - выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов в нем 360°.
Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360°, сумма трех 270° (90°
·3 = 270°), то величина четвертого 360° - 270° = 90°.
Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник - прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.
Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.
Математическое доказательство - это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.
По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство было прямым - в нем, основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строилась цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводила к истинному заключению.
К прямым доказательствам в математике относят полную индукцию -такой способ доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.
Задача 1. Доказать, что каждое составное натуральное число, больше 4, но меньше 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.
Решение. Вспомним определение простого и составного числа. Простым называется такое натуральное число, которое делится только на 1 и на себя. Числа 2, 13, 5, 17- простые. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Число 1 не является ни простым, ни составным.
В данной задаче рассматривается множество чисел, которые больше 4, но меньше 20. Составными в нем будут числа: 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18. Каждое из них можно представить в виде суммы двух простых чисел: 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 9 = 7 + 2; 10 = 5+5 (или 7+3); 12 = 5+7; 14 = 11+3 (или 7+7); 15 = 13+2; 16 = 13 + 3 (или 11 + 5), 18 = 13 + 5 (или 11+7). Так как данное утверждение истинно во всех частных случаях, то оно доказано.
Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему А => В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение В к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы А => В.
Задача 2. Доказать, что если а + 3 > 10, то а
· 7.
Решение. Предположим, что заключение данного утверждения ложно, тогда истинным будет его отрицание, т.е. предложение а = 7. Подставим это значение а в неравенство а + 3 > 10. Получим предложение 7 + 3 > 10 или 10 > 10, которое ложно. Пришли в противоречию с определением отношения «больше» для чисел. Следовательно, наше предположение неверное, и поэтому, если а + 3 > 10, то а
· 7.
Завершая обсуждение вопросов, связанных с математическим доказательством, выясним, как связаны между собой неполная индукция с дедуктивным выводом.
Ранее было отмечено, что выводы, которые мы получаем с помощью неполной индукции (или аналогии) носят характер предположения и поэтому их надо либо доказывать, либо опровергать. Поскольку выводы, о которых идет речь, носят, как правило, характер обобщения, то они формулируются в виде предложений, содержащих квантор общности. И следовательно, чтобы их опровергнуть, надо привести контрпример, а чтобы убедиться в истинности - доказать. Причем имеется в виду дедуктивный вывод. Таким образом, в процессе познания неполная индукция и математическое доказательство оказываются тесно связанными.


Основные выводы темы 4
Для того чтобы разобраться с особенностями математического доказательства, нам пришлось познакомиться с понятиями:
умозаключение,
посылка и заключение,
дедуктивные (правильные) умозаключения,
неполная индукция,
аналогия,
прямое доказательство,
косвенное доказательство,
полная индукция.
Мы выяснили, что неполная индукция и аналогия тесно связаны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровергать, т.е. нужна дедукция. С другой стороны, дедукция не возникает на пустом месте, а является результатом предварительного индуктивного изучения материала.
Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющегося знания получать новые истины, и притом с помощью рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.д.
Мы выяснили, что математическое доказательство - это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по определенным правилам. Познакомились с простейшими из них: правилом заключения, правилом отрицания, правилом силлогизма. Узнали, что проверять правильность умозаключения можно с помощью кругов Эйлера.


Упражнения по теме «Умозаключения и их виды»
1. Объясните, почему приведенные ниже высказывания считают истинными:
а)7>5; в) (4 + 6):2 = 4:2 + 6:2;
б)7 + 3>7+1; г)(6-4):2 = (6:2)-4. Сформулируйте правила, которыми вы воспользовались. Содержат ли они квантор общности?
2. Известно, что если в треугольнике углы при основании равны, то он - равнобедренный. Следует ли из этого, что:
а) треугольник с двумя углами по 40° - равнобедренный;
б) треугольник с двумя сторонами по 4 см - равнобедренный?
Даны два утверждения: А{х) - «число х четное» и В(х) -«запись числа х оканчивается цифрой 4». Находятся ли они е отношении следования?
Известно, что запись числа оканчивается цифрой 8. Следует ли из этого, что данное число делится на:
а) 2; б) 4
?
5. В четырехугольнике ABCD диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Верно ли, что ABCD:
а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник?
6. В четырехугольнике ABCD все стороны равны. Доста точно ли этого для того, чтобы утверждать, что ABCD:
а) квадрат; б) ромб?
В четырехугольнике ABCD два угла прямые. Доста точно ли этого для того, чтобы утверждать, что ABCD -прямоугольник?
Выскажите предположение, рассмотрев несколько част ных случаев:
а) К однозначному числу приписали такую же цифру. Вс сколько раз увеличилось число?
б) Имеются два числа, ни одно из которых не делится на 3 Может ли (и при каком условии) сумма этих чисел разделить ся на 3?
в) Верно ли, что квадрат четного числа есть число, кратное 4
9. Около вершин треугольника поставьте какие-нибудь числа. Возле каждой стороны - число, равное сумме чисел, стоящих у прилегающих к ней вершин. Что можно сказать о суммах, образованных числом, стоящим около стороны, и числом, стоящим около противолежащей ей вершины?
Надо ли доказывать сделанный вами вывод?
10. Сравните значение выражений (а + 6)(7-а) и а(а~1) при а = -3, 0, 2. Верно ли, что при любом целом а значение перво- го выражения больше, чем второго?
11. Даны верные равенства: 74-47 = 27; 52-25 = 27; 63 - 36 = 27. Верно ли, что разность любого двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 27?
12. Зная, что равенство ^^ = верно для любых натураль-
Ъс Ъ
ных чисел а, Ъ и с, ученик решил, что верным будет и равенство:
а + С - для любых натуральных чисел а, Ъ и с. Прав ли он? b+c b
Выяснив, что (12+4):2 = 12:2+4:2, ученик решил аналогично действовать при нахождении значения выражения (12-4):2, и записал: (12-4):2 = (12:2)-(12:4). Прав ли он?
Известно, что если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3. Верны ли следующие высказывания, сформулированные по аналогии с данными:
а) Если число делится на 10, то оно делится на 2 и на 5.
б) Если число делится на 12, то оно делится на 2 и на 6.
в) Если число делится на 14, то оно делится на 2 и на 7.
15. Учителю необходимо подвести учащихся к выводу о том, что «при сложении числа с нулем получается то число, которое складывали с нулем». Какой метод рассуждений вы выберете?

Упражнения по теме «схемы дедуктивных заключений»
1. В каждом из следующих умозаключений выделите по- сылки и заключение:
а) Если число натуральное, то оно целое; если число целое, то оно рациональное, следовательно, если число натуральное, то оно рациональное.
б) Если число натуральное, то оно целое; число 138 - нату- ральное, следовательно, оно целое.
в) Всякое натуральное число целое; число 138- целое, сле- довательно, оно натуральное.
г) Всякое натуральное число целое; число 0,2 не является целым, следовательно, оно не является и натуральным.
Проанализируйте схему каждого умозаключения из упражнения 1. Есть ли среди них умозаключения, не являющиеся дедуктивными?
Используя правило заключения, закончите умозаключение так, чтобы оно было дедуктивным:
а) Если четырехугольник - прямоугольник, то в нем диа- гонали равны. В четырехугольнике ABCD...
б) Равные треугольники имеют равные площади. Тре- угольники ABC и KLM...
в) Для того чтобы ромб был квадратом, достаточно, чтобы в нем был прямой угол. В ромбе ABCD...
Используя правило отрицания, закончите умозаключения из упражнения 3 так, чтобы они были дедуктивными.
Восстановите общую посылку в умозаключении:
а) Число 12- натуральное, следовательно, оно положи- тельное.
б) Число 15 - нечетное, следовательно, оно не делится на 2.
6. Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что
а) 130 делится на 10,
б) 137 не делится на 10.
в) Четырехугольник ABCD - прямоугольник.
г) Четырехугольник ABCD не является прямоугольником.
7. Используя круги Эйлера, проверьте, правильны ли сле- дующие умозаключения:
а) Всякий квадрат является прямоугольником; четырех- угольник ABCD не квадрат, следовательно, он не является прямоугольником.
б) Некоторые прямоугольники - квадраты; все квадраты - правильные многоугольники, следовательно, некоторые пря- моугольники являются правильными многоугольниками.
8. Сравнивая выражения 36-7 и 36-4, ученик рассуждал так: «36-7 меньше 36-4, так как 7 больше 4». Восстановите его рассуждение полностью. Назовите посылки и заключение.

Упражнения по теме «Способы математического доказательства»
Докажите, что если к произведению двух последова тельных натуральных чисел прибавить большее из них, т< получится квадрат большего числа.
Докажите, что значением выражения (х - 4)(2х + 1)/бу дет целое число, если х принимает значения -1,0, 1,4.
Разность двух углов равна 10°. Докажите, что эти угль не могут быть вертикальными.
4. Докажите, что если х2 + х + 1 < 0, то х < 0.
Как изменится сумма двух чисел, если каждое слагаемое увеличить в три раза?
Каким числом может быть сумма двух нечетных чисел1! Рассмотрите несколько частных случаев и выскажите предположение. Каким образом можно доказать его истинность?
Разделите каждое из чисел З2, 52 и 72 на 4. Чему в каждом из этих случаев равен остаток? Какое предположение можно высказать на основе полученных результатов? Сколько нечетных чисел нужно возвести в квадрат и разделить на 4, чтобы гарантировать истинность высказанного предположения?
Даны четыре последовательных нечетных числа. Верно ли, что произведение крайних чисел меньше произведения средних на 8?
9. Верно ли, что:
а) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8;
б) произведение двух последовательных четных чисел кратно 8;
в) разность между квадратом натурального числа, не де- лящегося на 3, и единицей делится на 3?
10. Покажите, что обосновывая решение следующих задач, младшие школьники могут использовать полную индукцию:
а) Дан ряд чисел: 3545, 3550, 3555, 3560, 3565. Можно ли утверждать, что каждое число этого ряда делится на 5?
б) Можно ли утверждать, что значения всех нижеприведен- ных выражений одинаковы:
326326:326; 236236:236; 626626:626.
в) Можно ли утверждать, что значения выражений в стол- бике одинаковы: 56:5
7-8:(32:4) (65-9): (24:3)?





13PAGE 15


13PAGE 14515








Приложенные файлы


Добавить комментарий