ТОНКМ с методикой преподавания для студентов 2 курса заочного отделения

Тема 3. Математические предложения
Тема 1. Логика и исчисление высказываний
Цель: получить представление о методах и средствах формальной логики для решения практических задач.
Задачи:
1) определять простые и сложные высказывания, выявлять в сложных высказываниях логические связки;
2) осуществлять перевод с естественного языка на формальный и с формального на естественный язык;
3) определять значение истинности логической формулы, доказывать тождественную истинность или ложность формул, доказывать логические законы;
4) решать практические задачи с применением логических формул и таблиц истинности;
5) строить цепочки умозаключений с применением законов формальной логики.

Общие теоретические сведения
Понятие логики.
Логика – наука о законах мышления. Формальная логика – наука об элементарных законах и формах правильного мышления.
Математическая логика – исходит из основных законов формальной логики, использует логические процессы с помощью математических методов, полное отвлечение от конкретного содержания предложения.
Пример. Если все растения – красные, а все собаки – растения, то все собаки красные. С точки зрения формальной логики - это полная ерунда, а с точки зрения математической логики предложение составлено абсолютно верно.

Понятие высказывания.
Основным объектом исследования математической логики является высказывание.
Рассмотрим предложения:
Город Тверь стоит на Волге.
Солнце больше Земли.
13 – четное число.
Сегодня - вторник.
Существуют прямоугольные треугольники.
Все это утвердительные повествовательные предложения, верные или неверные.
Высказывание (простое высказывание) – это утвердительное повествовательное предложение, которое может быть истинным или ложным.
В математической логике высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C,
В начальной школе вместо слова «высказывание» используют специальные значки: >, <, = .
Высказывания бывают истинными и ложными. В примерах высказывания 1, 2, 5 – истинные, а высказывания 3, 4 – ложные. Кроме этого высказывания бывают простыми и составными (сложными).
Простым или элементарным высказыванием называют такие высказывания, которые нельзя расчленить на другие высказывания. Если высказывание допускает расчленение на другие высказывания, то его называют составным.
Сложное высказывание состоит из ряда связанных простых высказываний. При этом используются слова-связки: «неверно, что», «не», «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда, когда». Каждой логической связке сложного высказывания соответствует логическая операция, имеющая свое символьное обозначение (см. табл. 1).
Таблица 1
Условные обозначения логических связок
Связка
Операция
Обозначение
Правила чтения
Пример
А – Преподаватель читает лекции,
В – Преподаватель ведет практику

Не
Отрицание

Не А
13 QUOTE 1415 - Преподаватель не читает лекции,
13 QUOTE 1415- Преподаватель не ведет практику

И
Конъюнкция
А
· В
А и В
А
· В – Преподаватель читает лекции и (преподаватель) ведет практику

Или
Дизъюнкция
А
· В
А или В
А
· В – Преподаватель читает лекции или (преподаватель) ведет практику

Если, то
Импликация
А В

Если А, то В

А В – Если преподаватель читает лекции, то он (преподаватель) ведет практику

, тогда и только тогда, когда

Эквиваленция
А В

А тогда и только тогда, когда В

А В – Преподаватель читает лекции, тогда и только тогда, когда он (преподаватель) ведет практику

Истинное высказывание условимся обозначать латинской буквой T (true), ложное высказывание F (false).

Операции над высказываниями
Отрицание высказывания
Пример. Дано высказывание А: «2 + 1 = 3» - истинно. Составим высказывание вида «Неверно, что А»: «неверно, что 2 + 1 = 3» - оно ложно. Последнее высказывание можно сформулировать и так «Не А»: «2 + 1
· 3» - ложь. Полученные высказывания называют отрицанием высказывания А и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Высказывание вида 13 EMBED Equation.3 1415(«неверно, что А», «не А») называется отрицанием высказыва - ния А. Отрицание ложно, если само высказывание А - истинно, отрицание истинно, если высказывание А ложно.
Вторую часть определения отрицания высказывания можно оформить в таблице истинности.
Таблица истинности.
А
13 EMBED Equation.3 1415

и
л

л
и

Закон двойного отрицания: 13 EMBED Equation.3 1415= А

Для доказательства составляем таблицу истинности и заполняем ее. Сравнивая по строчкам значения первого и последнего столбиков делаем вывод о том, что закон доказан

Конъюнкция высказываний
Пример. Рассмотрим высказывания А: «2 + 1 = 4» - ложно, В: «15 кратно 5» - истинно. Составим высказывание вида «А и В»: «2 + 1 = 4 и 15 кратно 5» - оно ложно. Полученное высказывание называют конъюнкцией высказываний А и В и обозначают А
· В.
Определение. Высказывание вида А
· В («А и В») называется конъюнкцией высказываний А и В. Конъюнкция высказываний истинна, если оба высказывания истинны, в остальных случаях конъюнкция ложна.
Вторую часть определения отрицания высказывания можно оформить в таблице истинности.
Таблица истинности.
А
В
А
· В

и
и
и

и
л
л

л
и
л

л
л
л

Законы конъюнкции:
А
· А = А
А
· В = В
· А – коммутативность или переместительный закон

· В)
· С = А
· (В
· С) – ассоциативность или сочетательный закон
А
· 13 EMBED Equation.3 1415= «л»

Для доказательства составляем таблицу истинности и заполняем ее. Сравнивая по строчкам значения первого и последнего столбиков делаем вывод о том, что закон доказан.
А
13 EMBED Equation.3 1415
А
· 13 EMBED Equation.3 1415

и
л
л

л
и
л

Докажем четвертый закон.




Дизъюнкция высказываний
Пример. Рассмотрим высказывания А: «2 + 1 = 4» - ложно, В: «15 кратно 5» - истинно. Составим высказывание вида «А или В»: «2 + 1 = 4 или 15 кратно 5» - оно истинно. Полученное высказывание называют дизъюнкцией высказываний А и В и обозначают А
· В.
Определение. Высказывание вида А
· В («А или В») называется дизъюнкцией высказываний А и В. Дизъюнкция высказываний ложна, если оба высказывания ложны, в остальных случаях дизъюнкция истинна.
Вторую часть определения отрицания высказывания можно оформить в таблице истинности.
Таблица истинности.
А
В
А
· В

и
и
и

и
л
и

л
и
и

л
л
л

Законы дизъюнкции:
А
· А = А
А
· В = В
· А – коммутативность или переместительный закон

· В)
· С = А
· (В
· С) – ассоциативность или сочетательный закон
А
· 13 EMBED Equation.3 1415= «и»

Для доказательства составляем таблицу истинности и заполняем ее. Сравнивая по строчкам значения первого и последнего столбиков делаем вывод о том, что закон доказан.
А
В
А
· В
В
· А

и
и
и
и

и
л
и
и

л
и
и
и

л
л
л
л

Докажем второй закон.






Импликация высказываний
Пример. Рассмотрим высказывания А: «2 + 1 = 4» - ложно, В: «15 кратно 5» - истинно. Составим высказывание вида «Если А, то В»: «если 2 + 1 = 4, то 15 кратно 5» - оно истинно. Полученное высказывание называют импликацией высказываний А и В и обозначают А В.
Определение. Высказывание вида А В («если А, то В» или «из А следует В») называется импликацией высказываний А и В. Импликация высказываний А и В ложна, если первое высказывание А – истинно, а второе высказывание В - ложно, в остальных случаях импликация истинна. Высказывание А называют условием импликации, а высказывание В – заключением.
Вторую часть определения отрицания высказывания можно оформить в таблице истинности.
Таблица истинности.
А
В
А В

и
и
и

и
л
л

л
и
и

л
л
и

Виды импликации:
Данная импликация А В: «если 2 + 1 = 4, то 15 кратно 5» - истинна.
Обратная импликация (меняем местами условие и заключение данной импликации) ВА: «если 15 кратно 5, то 2 + 1 = 4» - ложна.
Противоположная импликация (в данной импликации условие и заключение заменяем их отрицаниями) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415: «если 2 + 1
· 4, то 15 не кратно 5» - истинна.
Обратная противоположной (в обратной импликации условие и заключение заменяем их отрицаниями) или противоположная обратной (в противоположной импликации меняем местами условие и заключение) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415: «если 15 не кратно 5, то 2 + 1
· 4» - ложна.
Вывод: одновременно истинны или ложны данная импликация и обратная противоположной, а также обратная и противоположная.

Эквиваленция высказываний
Пример. Рассмотрим высказывания А: «2 + 1 = 4» - ложно, В: «15 кратно 5» - истинно. Составим высказывание вида «А тогда и только тогда, когда В»: «2 + 1 = 4 тогда и только тогда, когда 15 кратно 5» - оно ложно. Полученное высказывание называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают
А В.
Определение. Высказывание вида А В («А тогда и только тогда, когда В») называется эквиваленцией высказываний А и В. Эквиваленция высказываний А и В истинна, если оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны, в остальных случаях эквиваленция ложна.
Вторую часть определения отрицания высказывания можно оформить в таблице истинности.
Таблица истинности.
А
В
А В

и
и
и

и
л
л

л
и
л

л
л
и







Другие законы операций над высказываниями:
Дистрибутивные законы, связывающие конъюнкцию и дизъюнкцию

· В)
· С = (А
· С)
· (В
· С)

· В)
· С = (А
· С)
· (В
· С)

Формулы, имеющие все значения истинности при любых значениях переменных, называются тождественно-истинными. Тождественно-истинные формулы являются законами логики.
Логические законы доказываются с помощью таблиц истинности.

Алгоритм перевода высказываний с естественного языка на формальный
1. Выделить и обозначить простые высказывания.
2. Найти логические связки и заменить их на соответствующие логические операции.
3. Записать логическую формулу сложного высказывания.
4. Сделать проверку на соответствие полученной формулы исходному высказыванию.

Алгоритм перевода высказывания с формального языка на естественный
1. Заменить логическую переменную простым высказыванием.
2. Логические операции заменить соответствующими логическими связками.
3. Составить предложение.
Используя перевод естественной речи на язык математической логики, таблицы истинности, законы формальной логики в рассуждениях, а также теорию графов, можно решать текстовые задачи, встречающиеся в повседневной и профессиональной деятельности любого человека.

Понятие высказывательной формы (предиката). Операции над предикатами
Рассмотрим предложения с переменными:
x < 10
х + 1 = 7
число х делится на 5 без остатка
х – у = 2
х + у – z = 0
Все это повествовательные предложения, содержащие одну или несколько переменных. Если вместо переменных подставлять конкретные значения, то будем получать истинные или ложные высказывания.
Определение. Предложение, содержащее одну или несколько переменных, и которое при конкретных значениях переменных является высказыванием, называется высказывательной формой или предикатом.
Виды предикатов:
одноместные, примеры 1-3.
Двухместные, пример 4.
Трехместные, пример 5 и т.д.
С каждым предикатом связано два множества: область определения и множество истинности.
Область определения предиката – это множество значений переменных, при которых предикат превращается в высказывание, обозначается буквой Х.
Множество истинности предиката – это множество значений переменных, при которых предикат превращается в истинное высказывание, обозначается буквой Т. Т 13 EMBED Equation.3 1415 Х.
Обозначение предикатов: А(х): «x < 10», В(х, у): «х – у = 2», С(х, у, z): «х + у – z = 0».
Примерами предикатов в начальной школе являются неравенства и уравнения, слово «предикат не используется».
Способы превращения предиката в высказывание:
Вместо переменной подставить ее значение.
Использование специальных слов – кванторов: «каждый», «всякий», «любой» и др. – квантор общности (обозначают значком 13 EMBED Equation.3 1415), «существует», «найдется», «какой-нибудь» - квантор существования (обозначают значком 13 EMBED Equation.3 1415).

Над предикатами выполняют такие же операции как и над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.
Пусть на множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х).
Предикат вида 13 EMBED Equation.3 1415 называется отрицанием предиката А(х).
Предикат вида А(х)
· В(х) называется конъюнкцией предикатов А(х) и В(х).
Предикат вида А(х)
· В(х) называется дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х).
Предикат вида А(х) В(х) называется импликацией предикатов А(х) и В(х).
Предикат вида А(х) В(х) называется эквиваленцией предикатов А(х) и В(х).
Пусть А – множество истинности предиката А(х), В – множество истинности предиката В(х),
Множество истинности отрицания предиката А(х) вычисляем по формуле: Т1 = 13 EMBED Equation.3 1415
Множество истинности конъюнкции предикатов А(х)
· В(х) вычисляем по формуле: Т2 = А
·В.
Множество истинности дизъюнкции предикатов А(х)
· В(х) вычисляем по формуле: Т3 = А13 EMBED Equation.3 1415В.
Множество истинности импликации предикатов А(х) В(х) вычисляем по формуле: Т4 = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415В.

Если множество истинности предиката А(х) является подмножеством множества истинности предиката В(х), то из предиката А(х) логически следует предикат В(х). При этом предикат А(х) называется достаточным условием, а В(х) – необходимым условием.
Например, пусть на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} заданы предикаты А(х): «х кратно 4», В(х): «х кратно 2». Найдем множества истинности этих предикатов: ТА = {4, 8} – множество истинности предиката А(х), ТВ ={ 2, 4, 6, 8, 10} – множество истинности предиката В(х). Замечаем, что множество истинности первого предиката является подмножеством множества истинности второго предиката, в этом случае говорят, что из предиката А(х) логически следует предикат В(х). Импликацию А(х) В(х): «если х кратно 4, то х кратно 2» можно переформулировать так: «для того чтобы число х делилось на 4, необходимо, чтобы оно делилось на 2» и «для того чтобы число х делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось на 4».

Теорема
Определение теоремы
Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.
Примеры теорем:
Из алгебры. 1) если а > b, b > с, то а > с. 2) признаки делимости, например, для того чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась на 0.
Из геометрии. Теорема Пифагора: если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Строение теоремы.
Рассмотрим теорему: «Если сумма цифр натурального числа делится на 9,то и само число делится на 9».
Выделим условие теоремы (текст, стоящий между словами «если» и «то»): А(х): «сумма цифр натурального числа делится на 9», заключение (текст, стоящий после слова «то»): В(х): «число делится на 9».
Общий вид теоремы в условной форме (со словами «если, то»): (13 EMBED Equation.3 1415х 13 EMBED Equation.3 1415N) А(х) В(х).
13 EMBED Equation.3 1415х 13 EMBED Equation.3 1415N – разъяснительная часть теоремы (она не всегда присутствует в явном виде, но подразумевается всегда).
А(х) – условие теоремы.
В(х) – заключение теоремы.
Если теорема записана не в виде импликации, то нужно ее переформулировать в вид импликации, т.е. со словами«если, то».
Например, рассмотрим теорему «В прямоугольнике диагонали равны». Переформулируем ее так: «Если четырехугольник – прямоугольник, то его диагонали равны». Тогда условие теоремы «четырехугольник – прямоугольник», а заключение «диагонали четырехугольника равны». Речь идет о четырехугольниках, поэтому Х – множество четырехугольников.
Виды теорем:
Данная. Например, «Если четырехугольник – прямоугольник, то его диагонали равны».
В общем виде: (13 EMBED Equation.3 1415х 13 EMBED Equation.3 1415Х) А(х) В(х).
Обратная. Например, «Если диагонали четырехугольника равны, то это – прямоугольник» (в данной теореме поменяли местами условие и заключение).
В общем виде: (13 EMBED Equation.3 1415х 13 EMBED Equation.3 1415Х) В(х) А(х).
Противоположная. Например, «Если четырехугольник – не прямоугольник, то его диагонали не равны» (условие и заключение данной теоремы заменили отрицаниями).
В общем виде: (13 EMBED Equation.3 1415х 13 EMBED Equation.3 1415Х) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Обратная противоположной (в противоположной теореме поменяли местами условие и заключение) или противоположная обратной (в обратной теореме условие и заключение заменили их отрицаниями). Например, «Если диагонали четырехугольника не равны, то это – не прямоугольник».
В общем виде: (13 EMBED Equation.3 1415х 13 EMBED Equation.3 1415Х) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Применение теорем в математике.
Свойства основных понятий раскрываются в аксиомах.
Аксиома – предложение, принимаемое без доказательства.
Доказываемые свойства называют в геометрии: теоремами, следствиями, признаками; в алгебре: формулами, тождествами, правилами.

Практические задания по теме «Математические предложения»
Примеры решений
I тип. Определение высказываний, выявление логических связок

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием: «С утра идет дождь».
Решение
а) Предложение является повествовательным.
б) Мысль выражена утвердительно.
в) Относительно данного предложения можно однозначно сказать,
является оно ложным или истинным.
Ответ: Да, предложение является высказыванием.

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием: «Реши эту задачу».
Решение
а) Предложение не является повествовательным (оно побудительное).
Ответ: Нет, предложение не является высказыванием.

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием: «Пробежал дистанцию».
Решение
а) Предложение является повествовательным.
б) Относительно данного предложения невозможно однозначно сказать,
истинно оно или ложно, так как не указано, кто пробежал дистанцию.
Ответ: Нет, предложение не является высказыванием.

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием. Если является, то обозначить его и определить истинность: «В море соленая вода».
Решение
а) Предложение повествовательное.
б) Относительно данного предложения можно однозначно сказать,
является оно ложным или истинным.
в) Обозначим высказывание латинской буквой: А – В море соленая вода.
г) Высказывание истинное, т. е. А = T.
Ответ: да, предложение является высказыванием. А – В море соленая вода, А = T.

Задание. Определить, из скольки простых высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: «Добросовестный студент учится хорошо».
Решение
а) В данном предложении два высказывания: «Студент добросовестный», «Студент учится хорошо».
б) Наиболее подходящая логическая связка «Если , то», так в предложении неявно выражена условная форма.
в) Получим предложение: «Если студент добросовестный, то он учится хорошо».
Ответ: предложение состоит из двух простых высказываний. «Если студент добросовестный, то он учится хорошо».

Задание. Определить, из скольки высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: «В конце предложения надо обязательно поставить точку, многоточие, восклицательный знак или вопросительный знак».
Решение
а) Предложение состоит из четырех простых высказываний:
В конце предложения надо обязательно поставить точку.
В конце предложения надо обязательно поставить многоточие.
В конце предложения надо обязательно поставить восклицательный знак.
В конце предложения надо обязательно поставить вопросительный знак.
б) Так как по смыслу исходного предложения возможен лишь один из вариантов знака препинания, то единственно подходящая логическая связка «или».
в) Получим предложение: «В конце предложения надо обязательно поставить точку или многоточие или восклицательный знак или вопросительный знак».
Ответ: Предложение состоит из четырех простых высказываний. «В конце предложения надо обязательно поставить точку или многоточие, или восклицательный знак, или вопросительный знак».

Задание. Подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку:
Если с утра пасмурно, то я беру зонтик.
За экзамен я получу «отлично» или за экзамен я получу «хорошо».
У зверя нет иголок тогда и только тогда, когда зверь не ежик или зверь не дикообраз.
Неверно следующее высказывание: небо пасмурное тогда и только тогда, когда идет дождь.

II тип. Перевод с естественного языка на формальный
Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «Солнце светит тогда и только тогда, когда на небе нет туч».
Решение
а) Простых высказываний в данном предложении два:
1. Солнце светит,
2. На небе есть тучи.
Обозначим их латинскими буквами:
А – Солнце светит,
В – На небе есть тучи.
б) Логических связок в данном высказывании две: первая – тогда и только тогда, когда, вторая – нет. Первая соответствует операции эквиваленции (), вторая – операции отрицания (
· ).
в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод о том, что формула имеет следующий вид: A 13 QUOTE 1415 .
г) Делаем проверку: А – Солнце светит, В – На небе есть тучи, - операция эквиваленции (тогда и только тогда, когда), 13 QUOTE 1415 - операция отрицания (нет). Следовательно, формулу A 13 QUOTE 1415 можно прочитать следующим образом: Солнце светит тогда и только тогда, когда на небе нет туч.
Ответ: высказывание соответствует формуле A 13 QUOTE 1415 .

Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «Неверно высказывание: книга интересная, если она дорогая, и ее скучно читать».
Решение
а) Простых высказываний в данном предложении три:
1. Книга интересная,
2. Книга дорогая,
3. Книгу скучно читать.
Обозначим высказывания латинскими буквами:
А – Книга интересная,
В – Книга дорогая,
С – Книгу скучно читать.
б) В данном высказывании можно заметить две особенности: 1) посылка и заключение «поменялись местами» друг с другом, 2) частица то в данном предложении пропущена, но можно легко определить ее местоположение – после слова что.
Логических связок в данном высказывании три: первая – неверно высказывание, вторая – если, то, третья – и.
Поскольку отрицание стоит в начале предложения, данная операция относится ко всей формуле.
Первая логическая связка соответствует операции отрицания (
· ), вторая – операции импликации (=>), третья – операции конъюнкции (/\).
в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий вид: 13 QUOTE 1415.
г) Делаем проверку: А – Книга интересная, В – Книга дорогая, С – Книгу скучно читать, => - операция импликации (если, то), 13 QUOTE 1415 - операция отрицания (неверно высказывание), /\ - операция конъюнкции (и).
Следовательно, формулу В
· С А можно прочитать следующим образом: Неверно высказывание: если книга дорогая и ее скучно читать, то она интересная.
Ответ: высказывание соответствует формуле 13 QUOTE 1415.

Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда много песка или очень жарко».
Решение
а) Простых высказываний в данном предложении четыре:
1. В пустыне есть вода,
2. В пустыне есть растения,
3. В пустыне много песка,
4. В пустыне очень жарко.
Обозначим высказывания латинскими буквами:
А – В пустыне есть вода,
В – В пустыне есть растения,
С – В пустыне много песка,
D – В пустыне очень жарко.
б) Логических связок в данном высказывании пять: первая – нет, вторая – и, третья – нет, четвертая – тогда и только тогда, когда, пятая – или.
Первая и третья соответствуют операции отрицания (
· ), вторая – операции конъюнкции (/\), четвертая – операции эквиваленции (), пятая – операции дизъюнкции (\/).
в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий вид: (А
· В)(С
· D).
г) Делаем проверку: А – В пустыне есть вода, В – В пустыне есть растения, С – В пустыне много песка, D – В пустыне очень жарко, 13 QUOTE 1415– операция отрицания (нет), /\ – операция конъюнкции (и), \/ – операции
дизъюнкции (или), – операции эквиваленции (тогда и только тогда, когда).
Следовательно, формулу (А
· В)(С
· D) можно прочитать следующим образом: В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда много песка или очень жарко.
Ответ: высказывание соответствует формуле (А
· В)(С
· D).

III тип. Перевод с формального языка на естественный
Повторите алгоритм перевода с формального языка на естественный из теоретической части занятия.
Задание. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: (А
· В)С .
Решение
а) Присвоим логическим переменным А, В, С какое-либо высказывание:
А – Пушкин А. С. – поэт,
В – Пушкин А. С. – дуэлянт,
С – Пушкин А. С. доживет до 70 лет.
б) Логические операции заменим соответствующими логическими связками:
А – Пушкин А. С. – не поэт;
В
· Пушкин А. С. – не дуэлянт;

· – и;
– Если , то
в) Составим предложение по формуле, заменяя логические переменные заданными высказываниями, а операции – логическими связками: «Если Пушкин А. С. – не поэт и Пушкин А. С. – не дуэлянт, то Пушкин А. С. доживет до 70 лет».
В соответствии с правилами русского языка, избавимся от повторяющихся слов: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет».
Ответ: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет».

IV тип. Нахождение значения истинности формулы, доказательство логических законов, доказательство тождественной истинности или ложности формул
Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: 13 QUOTE 1415 ,
· ,
· , , . Кроме того, на порядок операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

Задание: вычислить значение логической формулы, предварительно указав порядок действий
X X
· Y ;
Решение
X X
· Y
X - первое действие;
X
· Y - второе действие;
X X
· Y - третье действие.
X Y X X
· Y X X
· Y
1. T T F T F
2. T F F T F
3. F T T T T
4. F F T F F
Ответ: формула принимает истинное значение, когда Х – истина,Y – ложь. Во всех остальных случаях формула принимает значение ложь.

Задание: доказать логический закон исключенного третьего X
· X .
Решение
X
· X
X - первое действие;
X
· X - второе действие.
X X X
· X
1. T F T
2. F T T
Ответ: формула является законом логики.

V тип. Решение задач с применением логических формул и таблиц истинности
Задача. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Сергей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Сергеем.
Решение
а) Обозначим простые высказывания:
А – Андрей ходил в кинотеатр,
В – Владимир ходил в кинотеатр,
С – Сергей ходил в кинотеатр.
б) Представим известные факты в виде логических формул:
Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно
Владимир и Сергей – АВ
· С .
Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей – ВС.
Сергей пошел в кинотеатр – С.
в) Из условия следует, что формулы АВ
· С = Т и ВС = Т и С = Т
(истинны). Составим таблицу истинности для данных высказываний и найдем
значения переменных А и В в тех строках, где данные формулы принимают
истинное значение (они выделены темным цветом):
А В С В
·С В
·С АВ
· С ВС
T T T T F F T
T T F F T T F
T F T F T T T
T F F F T T T
F T T T F T T
F T F F T F F
F F T F T F T
F F F F T F T
г) Так высказывания АВ
· С и ВС и С истинны в двух случаях: когда А – истинно или когда В – истинно, то в кинотеатр Сергей пошел либо с Андреем, либо с Владимиром (варианты, что пошли все трое или Сергей один – отклоняются).
Ответ: Сергей пошел с Андреем или с Владимиром.

VI тип. Задачи на применение законов формальной логики
Задача. У каждой из трех одноклассниц Синельниковой, Красновой и Зелениной есть по одной ручке: у кого-то с зеленым стержнем, у другой с красным, у третьей – с синим. Известно, что у каждой подружки ручка цветом, не соответствующим фамилии. Когда одноклассник попытался выяснить, у какой подружки какая ручка, Синельникова сказала, что у нее однозначно нет зеленой ручки. Какого цвета ручка у каждой из подружек?
Решение
а) Решим задачу, используя двухмерную таблицу, в столбцах перечислим цвета стержней: с – синий, з – зеленый, к – красный; в строках – фамилии: С – Синельникова, К – Краснова, З – Зеленина. На пересечении строк и столбцов будем ставить знак «+», если у школьницы есть стержень соответствующего
цвета, знак «–» – если стержня нет (см. табл. 7.1.).
Таблица 7.1
Решение задачи с помощью двухмерной таблицы
с к з
С
К
З
б) Из условия следует, что у Синельниковой нет синей и зеленой ручки, у Красновой нет красной, у Зелениной отсутствует зеленая ручка. Поставим в соответствующих ячейках таблицы знаки «–» (табл. 7.2.).
Таблица 7.2
Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)
с к з
С – –
К –
З –
в) У Синельниковой нет ни зеленой, ни синей ручки, следовательно, у нее может быть только красная ручка. Поэтому ________4у других подружек уже не может быть красной ручки. Отобразим это в таблице 7.3.
Таблица 7.3
Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)
с к з
С – + –
К –
З – –
г) Из таблицы 7.3 очевидно, что синяя ручка может быть только у Зелениной, а зеленая ручка может быть только у Красновой. Получим итоговую таблицу (табл. 7.4.).
Таблица 7.4
Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (итог)
с к з
С – + –
К – – +
З + – –
Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая, у Зелениной – синяя.
Примечание 1. Задачу можно решить и простым перебором вариантов, но фиксирование результатов рассуждений в таблице делает решение более наглядным и позволяет не упустить ни одну версию.
Примечание 2. Задача решается и с помощью графов. Рассмотрим подобное решение при тех же условиях задачи.
Графом на плоскости называется конечное множество точек плоскости, где некоторые из них соединены линиями. Точки – вершины графа; соединяющие их линии – ребра. Степень вершины графа – количество ребер, исходящих из этой вершины.
Решение
Таблица 8
Решение задачи с помощью графа
Граф Пояснение
а)
а) В задаче идет речь о двух
множествах: множество фамилий (С – Синельникова, К – Краснова, З – Зеленина) и множество цветов (с – синий, з – зеленый, к – красный).
Построим граф с соответствующими вершинами
б) Соответствующие элементы двух множеств будем соединять сплошным ребром (линией), а несоответствующие – пунктирной.
С
К
З
с
к
з
Граф Пояснение
в)
в) Прочитаем условие.
Так как у каждой подружки ручка цветом, не соответствующим фамилии, то соединим С и с, К и к, З
и з пунктирной линией, как не соответствующие элементы г)
г) Так как у Синельниковой нет зеленой ручки, то соединим С и з пунктирной линией, как не соответствующие элементы.
Единственным вариантом остается, что у Синельниковой ручка красного цвета. Соединим С и к сплошной линией как соответствующие элементы
д)
д) З и к соединим пунктирной линией, как не соответствующие элементы. Так как у Зелениной нет
ни красной, ни зеленой ручки, то у нее синяя ручка. Соединим З и с сплошной линией как соответствующие элементы, и К и с – пунктирной, как не соответствующие элементы
е)
е) По графу видно, что у Красновой нет ни синей, ни красной ручки, следовательно, у нее может быть лишь зеленая ручка. Соединим К и з сплошной линией как соответствующие элементы
Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая, у Зелениной – синяя.
Примечание 3. Подобные задачи логического характера рационально решать с помощью таблиц, когда в условии фигурируют два множества с числом элементов более 2. Если в задаче участвуют три и более множества с несколькими элементами, то она решается с помощью графов.
С
К
З
с
к
з
С
К
З
с
к
з
С
К
З
с
к
з
С
К
З
с
к
з
Задачи для самостоятельного решения
I тип
Задача 1*. Определить, является ли предложение высказыванием. Высказывания обозначить и определить их истинность:
а) Сегодня воскресенье.
б) Дисплей – это устройство ввода информации.
а) Проверь домашнее задание.
в) Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
г) День был дождливым?
д) 19 делится на 5 без остатка.
е) Какой красивый дом!
ж) Александр Сергеевич Пушкин – великий поэт серебряного века.
Задача 2*. Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:
а) Купаясь в неположенном месте, человек может утонуть.
б) В повествовательном предложении ставится точка, а может быть многоточие.
в) Ленивому студенту трудно учиться.
г) Студента переводят на следующий курс, когда он не имеет задолженностей.
д) Чапаев – герой Гражданской войны, а также современных анекдотов.
е) Вода при температуре менее 0 градусов – лед.
ж) Проигравший теннисист выходит из соревнований.
Задача 3*. Для высказываний, сформулированных в задании 2, подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку.
Задача 4**. Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:
а) Лампочка горит, когда есть электричество.
б) На яблоне растут яблоки.
в) У блондина белый цвет волос.
г) Спортсмен – олимпийский чемпион, следовательно, он победитель Олимпийских игр.
д) Студент, не сдавший всех зачетов, не допускается до экзаменов.
е) Зимой на улице холодно.
ж) Спортсмен вышел в полуфинал вследствие того, что выиграл четверть финала.
з) Встречаясь, люди приветствуют друг друга.
Задача 5**. В высказываниях, сформулированных в задании 4, подчеркнуть простые высказывания и обвести кружком логическую связку.
Задача 6***. Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:
а) Чтобы сдать зачет, студенту необходимо: решить все домашние задания, написать контрольную работу на положительную оценку, посещать все лекции.
б) Порядочный человек извинится, а также постарается загладить вину в случае, когда он кого-то сильно обидел.
в) Спортсмен будет дисквалифицирован в случае, когда он нарушает правила либо некорректно ведет себя по отношению к сопернику.
Задача 7**. В высказываниях, сформулированных в задании 6, подчеркнуть простые высказывания и обвести кружком логическую связку.

II тип
Задача 8*. Представить высказывания в виде логических формул:
а) Если пойдешь гулять, то возьмешь с собой зонт или наденешь плащ.
б) Человек голоден тогда и только тогда, когда он не умеет готовить.
Задача 9**. Представить высказывания в виде логических формул:
а) Студент не сдал сессию, следовательно, он будет отчислен.
б) Я буду отдыхать, если начнутся каникулы.
в) Неверно, что Земля плоская и вращается вокруг Солнца.
г) Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето.
Задача 10***. Представить предложения в виде логических формул, если это возможно:
а) Прочитай книгу и сходи в кино.
б) Выучил уроки, если помыл посуду.
в) Если сдал экзамен или зачет, можешь отдохнуть с друзьями.

III тип
Задача 11*. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:
а) A
· B
б) X Z
в) PQ
г) A
· B
д) OT
е) Y W
Задача 12**. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:
а) PQ
· T
б) A
· BC
в) DG
· H
г) (AB)
· C
д) AB
· C
е) (X
· Y)Z
Задача 13***. Представить логический закон в виде высказывания на русском языке:
а) чисто условное умозаключение ((A B)
· (BC))(AC)
б) закон де Моргана (А
· В) А
· В
в) закон Дунса Скотта А
· А В
г) закон косвенного доказательства (А (В
· В)) А
д)modus ponens (модус утвердительный) ((АВ)
· А)В
е) modus tollens (модус отрицательный) (АВ)
· В А
ж) Разделительно-категорическое умозаключение ((А
· В)
· А)В
з) Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма) ((АВ)
·(СD)
·(A
·C))(B
· D)
и) Условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма) ((АВ)
·(СD)
·(В
· D))(A
·C)

IV тип
Задача 14*. Построить таблицы истинности для формул:
а) C
· A B
б) A
· C
· A
· C
в) X
· Z Y
г) A
· B A
· C
д) (X Y )
· Z
е) X
· Z Y
· Z
Задача 15**. Определить, являются ли формулы тождественно истинными:
а) (A
· B)
· C A
· C
· B
· C
б) A B A
· B
в) A B
· A
г) A B A
· B
д) A
· (B
· C) (A
· B)
· (A
· C)
е) A B A
· B
Задача 16***. Доказать с помощью таблиц истинности логические законы:
а) A B A
· B
б) A
· B A
· B
в) чисто условное умозаключение
г) modus ponens (модус утвердительный)
д)modus tollens (модус отрицательный)
е) Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма)

V тип
Задача 17*. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Андрей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Андреем?
Задача 18*. У сороки было трое птенцов: А, В, С. Кого сорока угостила кашей, если известно, что если она угостит А и С, то и В получит свою порцию. Также известно, что А не угостит тогда и только тогда, когда не угостит С.
Задача 19**. В кабинете работают начальник, секретарь и заместитель начальника. Вечером был сломан калькулятор. В кабинете установлена видеокамера, охранник выдал заведомо ложную информацию о том, что если в кабинете в момент поломки был заместитель и не было начальника, то в кабинете присутствовал секретарь. Кто сломал калькулятор?
Задача 20**. В картинной галерее украдено полотно. В момент кражи в галерее могли находиться три человека: охранник, смотритель и уборщица. В ходе допроса смотритель сказал: «Если в момент кражи в помещении был я, то не было уборщицы или был охранник». Затем следствие выяснило, что смотритель
солгал. Кто украл полотно?
Задача 21**. С урока сбежали три ученицы Аня, Вика и Соня. Кто был инициатором, если Вика, желая защитить подруг, сказала заведомую ложь: «Если я инициировала прогул, то Аня или Соня не были инициаторами»?
Задача 22***. Трех учеников учитель заподозрил в том, что они списали домашнее задание. Сидоров сказал: «Анохин списал, а Викторов нет». Анохин сказал: «Викторов не списывал и Синицын не списывал». Викторов заметил: «Списал Анохин или Сидоров». Потом все три ученика признались, что сказали
неправду. Кто списал на самом деле?
Задача 23***. Позвал отец трех сыновей и спросил, чью стрелу поймала царевна-лягушка. Младший молвил: «Стрелы старшего и среднего братьев попали в болото». Средний вторил: «Стрелы младшего или старшего оказались в болоте». Старший произнес: «Стрела среднего не очутилась в болоте или стрела младшего угодила туда». Кто женится на царевне-лягушке, если из братьев только один сказал правду?
Задача 24***. На рождество три подруги гадали на женихов. В результате они получили три предсказания. Первое: «Если Лена выйдет замуж, то Таня тоже выйдет». Второе: «Если Лена выйдет замуж, то Оля не выйдет». Третье: «Таня выйдет замуж в том и только том случае, когда выйдет Оля». Жизнь показала,
что ни одно предсказание не сбылось. Кто вышел замуж?
Задача 25***. Куратор группы спросил у трех студентов о задолженностях за сессию. Татьяна сказала, что у Димы нет задолженностей и у Бориса нет. Дима сказал, что Борис имеет задолженности, а Татьяна нет. Борис сказал, что у него нет задолженностей, а у Татьяны есть. Потом студенты признались, что один из них сказал неправду. Кто на самом деле имеет долги за сессию?

VI тип
Задача 26*. После угона четыре машины: «Жигули», «Волга», «Запорожец» и «Москвич» были перекрашены в один цвет. Известно, что до угона машины были разных цветов: желтого, зеленого, синего, красного. Показания свидетелей позволили выявить следующее. Во-первых, водитель «Жигулей» возил владельца машины желтого цвета, и это был не водитель «Волги». Во-вторых, пассажирами на синей машине видели водителей «Волги» и «Запорожца». В-третьих, водитель «Жигулей» не любит синий цвет, так же сильно, как водитель «Волги» не любит красный цвет. Какой цвет соответствовал каждой марке машины до угона?
Задача 27*. Один из друзей – Андрей, Борис, Владимир, Григорий – археолог, другой юрист, третий физик, четвертый художник. Определить, у кого какая профессия, если известно, что Владимир учился с археологом и юристом в одном вузе. Археолог с Андреем и Григорием ходили в экспедицию. Художник
написал портреты Владимира и Григория.
Задача 28*. Сестры Лена, Настя, Даша поссорились с тремя подругами Викой, Машей, Олей. Когда родители попытались выяснить, кто с кем поссорился, Лена сказала: «Я не ссорилась с Викой». Настя призналась: «Я поругалась с Викой». Даша ответила: «Однозначно, что я до сих пор дружу с Машей». Кто с
кем поссорился?
Задача 29**. Три брата: старший, средний, младший женились на трех сестрах другой семьи. Младший брат женился не на младшей сестре, средний не на средней, старший не на старшей. Какой брат на какой сестре женился, если известно, что старшая сестра вышла замуж не за младшего брата?
Задача 30***. Один из друзей-писателей пишет детективы, другой – комедии, третий – фантастику. Их жены не любят читать книги жанров, в которых пишут их мужья. Дети писателей не читают то, что пишут отцы, и то, что читают их матери. Какой жанр из этих трех жанров предпочитают жены и дети писателей, если жена фантаста не любит детективы?
Задача 31***. У трех подружек Черновой, Рыжовой, Беловой цвет волос не соответствует фамилии. Одна из них блондинка, другая рыжая, третья брюнетка. Девушки носят костюмы цвета, не соответствующего цвету волос и фамилии. У кого какой цвет волос, и какого цвета костюмы носят девушки, если Чернова не блондинка?
Задача 32***. У Петрова, Иванова, Максимова имена не соответствуют фамилиям, но при этом одного зовут Максимом, другого Иваном, третьего Петром. Отчества юношей не соответствуют ни их фамилиям, ни именам. Но их отчества: Петрович, Максимович и Иванович. У кого какое имя и отчество, если Максимова точно зовут не Иваном?
Задача 33***. У трех одноклассниц, зеленоглазой, кареглазой, синеглазой, сумочки и кофты зеленого, коричневого и синего цветов. Причем у каждой девушки цвет сумочки не совпадает с цветом глаз, а цвет кофты не совпадает ни с цветом сумочки, ни с цветом глаз. Кому, какого цвета принадлежит сумочка и кофта, если у зеленоглазой подружки не коричневая сумка?

Домашнее задание
Вариант 1
1.Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «Сегодня солнечный летний день, значит, на улице жарко, а также нет грозы».
2.Представить в виде логической формулы высказывание: «Если ты не заплатил за проезд, то неверно, что тебя оштрафуют или высадят из автобуса».
3.Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: X
· Y Y
· X ; AB
· C .
4.Доказать с помощью таблиц истинности логический закон Дунса Скотта А
· АВ .
5.Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Владимир пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Владимиром.
6.Из трех друзей-меломанов один любит рок-музыку, другой – тяжелый рок, третий – поп-музыку. Их девушки также предпочитают одно из этих направлений, но они не любят слушать то, что слушает их друг. Чья девушка, какую музыку предпочитает, если подруга рокера не слушает поп-музыку?

Вариант 2
1.Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «Студент допущен к экзаменам, следовательно, он сдал все зачеты, а также у него не было много пропущенных занятий».
2.Представить в виде логической формулы высказывание: «Будешь здоровым тогда и только тогда, когда будешь заниматься спортом».
3.Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A
· BB
· A; X
· Y Z .
4.Доказать закон косвенного доказательства (А(В
· В)) А.
5.Преподаватель должен выбрать из трех студентов участников для олимпиады. Известно, что если он выберет Иванова или Васильеву, то Синицын тоже будет участвовать. Иванова он возьмет в команду тогда и только тогда, когда он не возьмет Васильеву. В итоге выяснилось, что Васильева участвовала в олимпиаде. Участвовали ли другие претенденты? Кто?
6.Отличник, хорошист, троечник написали контрольную работу на оценку, не соответствующую их статусу. Кто какую оценку получил, если известно, что троечник не получил пятерку?

Вариант 3
1.Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «В случае, когда спортсмен не пройдет допинг-контроль или квалификацию, он не будет допущен к соревнованиям».
2.Представить в виде логической формулы высказывание: «Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето».
3.Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A
· (B
· C)(A
· B)
· C ; T
· Q .
4.Доказать условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма).
5.В поход собрались три друга Смирнов, Козлов, Доронин. Руководитель сказал, что если Смирнов пойдет или Доронин не пойдет, то пойдет Козлов. Козлов решил, что он пойдет в поход в том и только том случае, когда не пойдет Доронин. Смирнов отправится в поход в любом случае. Кто из трех друзей пойдет в поход?
6.Бегун, прыгун, метатель молота вытянули жребий для участия в «Веселых стартах». Одному из них выпало участие в беге, другому в прыжках, третьему – метание молота, но ни у одного жребий не совпал с их ведущим видом спорта. Какой спортсмен в каком виде соревнований примет участие, если известно, что бегун не будет прыгать?

Вариант 4
1.Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «Когда я не выполнил домашнее задание и пропустил лекцию, мне стыдно идти на занятие».
2.Представить в виде логической формулы высказывание: «Неверно, что на Земле нет атмосферы или отсутствует жизнь».
3.Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A
· (B
·C)
· (A
· B)
·C ; Y X .
4.Доказать с помощью таблиц истинности разделительно-категорическое умозаключение ((А
· В)
· А)В .
5.В спортивную секцию решили записаться три одноклассника: Синельников, Абрамов, Воронин. Отношения между одноклассниками складываются таким образом, что, если Воронин не пойдет, то Синельников и Абрамов будут заниматься вместе. Синельников не запишется в секцию тогда и только тогда, когда не запишется Воронин. Тренер сообщил, что Абрамов не подходит по медицинской справке. Кто из одноклассников записался в секцию?
6.Переводчики с французского, английского, немецкого языков поехали в командировку: один во Францию, другой в Германию, третий – в Англию. Ни один из переводчиков не попадает в страну, где говорят на языке, с которого он переводит. Какой переводчик, в какую страну поедет, если известно, что в Германию не попадает переводчик с английского языка?

Контрольные вопросы
1.Что изучает математическая логика?
2.Как определить, что предложение является высказыванием?
3.Каким союзам русского языка соответствуют операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции?
4.Какие обозначения соответствуют союзам русского языка: тогда и только тогда, когда ; и; или; если , то; не?
5.Какие значения истинности принимают операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции в зависимости от значений переменных?
6.Как формулируется алгоритм перевода с естественного языка на формальный?
7.Каким образом осуществить перевод с формального языка на естественный?
8.Как доказать логический закон?
9.Какого типа задачи и каким образом решаются с помощью таблиц истинности?
10. Какие задачи логического характера удобно решать с помощью таблиц, а какие с помощью графов?

Библиографический список
1.Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В.Грес. – М.: Логос, 2003. – С. 53–60.
2.Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.: Питер, 2004. – С. 34.
3.Турецкий В. Я. Математика и информатика / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – (Серия «Высшее образование»). – С. 60–75.
4.Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.:
И.И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – С. 4–11.








13 PAGE \* MERGEFORMAT 141315




Root Entry

Приложенные файлы


Добавить комментарий