ТОНКМ с методикой преподавания для студентов 2 курса заочного отделения

Тема 2. Математические понятия
Сущность понятия. Содержание и объем понятия. Соотношение между содержанием и объемом
Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные свойства (признаки) объектов изучения.
При использовании понятий в конкретной обстановке мы пользуемся дедуктивным путем мышления (от общего к частному), который ввел Аристотель.
Введем обозначения:
Х – множество объектов,
А – понятие,
а – признак понятия.
Признак а называется основным или необходимым, существенным признаком понятия А, если все объекты множества Х обладают этим признаком (свойством).
Признак а называется отделимым признаком понятия А, если некоторые объекты множества Х обладают этим признаком.
Признак а называется противоречивым признаком понятия А, если ни один объект множества Х не обладает этим признаком.
Понятия обозначают заглавными буквами латинского алфавита, затем ставится двоеточие и в кавычках пишется само понятие.
Пример. А: «параллелограмм».
Основной признак – параллельность противоположных сторон параллелограмма.
Отделимый признак – перпендикулярность диагоналей параллелограмма.
Противоречивый признак – только две стороны параллелограмма параллельны.
Объемом понятия называют множество объектов, на которые распространяется данное понятие.
Например, понятием «параллелограмм» охватываются и прямоугольники, и ромбы, и квадраты, и параллелограммы, которые ими не являются.
Содержание понятия – это совокупность основных признаков, которые охватываются этим понятием.
Содержание раскрывается в определении. Чем «уже» объем понятия, тем «шире» его содержание и наоборот.

Родовые и видовые понятия
Более общее – родовое понятие, менее общее – видовое понятие.
Если все основные признаки понятия А являются основными для понятия В, но не все основные признаки понятия В являются основными для понятия А, то понятие А называется родовым, а понятие В – видовым.
Например, в определении «параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны» параллелограмм – видовое понятие, а четырехугольник – родовое понятие.

Отношение между понятиями
Понятия

Сравнимые Несравнимые

Совместимые Несовместимые

Отношение Отношение Отношение
равнозначности частичного полного
совпадения подчинения
Сравнимые понятия те, которые имеют общие признаки.
Совместимые понятия те, которые частично или полностью совпадают. Например, ромб и прямоугольник.
Отношение равнозначности имеет место тогда, когда объемы понятий полностью совпадают. Например, множество целых положительных чисел совпадает с множеством натуральных чисел.
Отношение частичного совпадения имеет место тогда, когда объемы понятий пересекаются. Например, понятия «прямоугольник» и «ромб».
Отношение полного подчинения имеет место тогда, когда объем одного понятия является правильной частью объема другого понятия. Например, понятия «параллелограмм» и «ромб».


Определение понятий
Определением называют такую логическую операцию, при помощи которой раскрывается содержание понятия через перечисление существенных признаков.
Существенные признаки – это такие признаки, каждый из которых является основным, а вместе независимыми и достаточными для того, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов.
Виды определений: явные и неявные.
Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух понятий.
Например, «параллелограмм – это четырехугольник, ». Схема определения: «А – это В», где А и В - понятия.
Неявные определения не имеют формы совпадения двух понятий.
Примеры таких определений:
контекстуальные (через фрагмент текста);
остенсивные (с помощью показа объектов);
генетические (показан способ образования объекта);
индуктивные (указаны некоторые объекты и правила получения следующего).
В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации, описывающий смысл вводимого понятия. Например, определение уравнения в учебниках математики.
Остенсивные определения используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Поэтому остенсивные определения еще называют определениями путем показа (понятия равенства и неравенства в начальной школе).
В генетических определениях указывается способ образования определенного объекта. Например, шар, это геометрическая фигура, полученная в результате вращения полукруга вокруг диаметра.
В индуктивных определениях указываются некоторые объекты теории и правила, позволяющие получать новые из уже имеющихся. Например, арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
Чаще всего в математике используют определения через род и видовое отличие.
Структура определения:
Указывается род или родовое понятие, которому принадлежит данное понятие как вид.
Указываются те признаки, которые отличают данный вид от других видов данного рода.
видовое, определяемое понятие родовое, определяющее понятие видовой признак
Пример. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Определение состоит из двух частей: определяемого и определяющего понятий.
То понятие, которое определяется, называется определяемым. Определяющее понятие то, через которое определяется данное понятие.
Требования к определениям
Соразмерность определяемого и определяющего понятий.
В определении не должно быть порочного круга.
В определении должны быть указаны все свойства, однозначно определяющие объекты, принадлежащие объему определяемого понятия.
Отсутствие в определении избыточности.
Определение, которое удовлетворяет перечисленным требованиям, называется корректным.
Нарушения:
Параллелограмм - это многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Этому определению удовлетворяют шестиугольники, восьмиугольники и т.д.
Прямым углом называются угол, который образован перпендикулярными прямыми. Перпендикулярные прямые – это прямые, образующие прямой угол. Определение прямого угла дается через определение перпендикулярных прямых, а те, в свою очередь, определяются через прямой угол, т.е. получился порочный круг.
Смежными называются углы, которые в сумме дают 180°. Возможна следующая комбинация углов:
А это не смежные углы.

Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Здесь указано лишнее свойство, которое вытекает из первого свойства.








13 PAGE \* MERGEFORMAT 14215





Приложенные файлы


Добавить комментарий