ТОНКМ с методикой преподавания для студентов 2 курса заочного отделения

Тема 1. Множества и операции над ними
Цель: овладеть навыками теоретико-множественного представления объектов реальной и абстрактной действительности.
Задачи:
1) научиться находить множества и их элементы в окружающей действительности и в абстрактных структурах;
2) осуществлять переход от одного способа задания множества к другому и распознавать возможность такого перехода;
3) определять мощность множеств;
4) определять отношения между множествами;
5) выполнять и определять операции над множествами;
6) доказывать свойства операций над множествами;
7) решать практические задачи с применением операций над множествами.

Общие теоретические сведения
Понятие «множество» является одним из основных понятий математики, не определяемых через другие. Это понятие можно рассмотреть на примерах.
Пример 1
множество яблок, растущих на яблоне;
множество студентов, обучающихся в ЧГПУ;
множество денежных знаков, находящихся в обороте у населения Российской Федерации;
множество прямоугольников;
множество двусложных слов в русском языке;
множество букв в английском алфавите, или множество согласных букв в русском алфавите;
множество натуральных чисел; множество иррациональных чисел.
Определяющие признаки множества:
1) рассматривается некоторое собрание реально существующих или абстрактных объектов или явлений;
2) это собрание объектов или явлений может быть представлено как одно целое;
3) природа объектов или явлений, входящих в множество, может быть любая, но объекты или явления одного множества должны быть одной природы;
4) все объекты множества должны отличаться друг от друга.
5) Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, , Z. Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.
Элементы множества обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, , z.
Принадлежность элемента к какому-либо множеству записывается с помощью символа
·. Математическое выражение a
· A означает, что объект а принадлежит множеству А, а выражение a
· A означает, что объект а не принадлежит множеству А.
Способы задания множества:
1) через характеристическое свойство: D = {y | P(y)}, где P(y) – характеристическое свойство множества D;
2) перечислением всех элементов множества.
Элементы конечного множества можно перечислить, а элементы бесконечного множества даже теоретически нельзя собрать в законченную совокупность. Конечные множества можно задать как перечислением, так и с помощью характеристического свойства. Бесконечные множества задаются только с помощью характеристического свойства.
Мощность конечного множества – это количество элементов, которые принадлежат данному множеству, обозначается как m (A), что означает мощность множества А.
Пустое множество – это множество, не содержащее элементов.
Мощность пустого множества равна 0.
Отношения между множествами представлены в таблице 1.
Таблица 1.
Отношения между множествами
Отношение.
Диаграмма Эйлера-
Венна
Определение
Условная запись

Условия проверки


В строго включается в А


В подмножество А

Если каждый элемент множества B является элементом множества А, и в множестве А есть хотя бы один
элемент, не принадлежащий В, то говорят, что множество В строго включается в множество А

В
· А
1) (
·х
·В) х
·А
2) (
·у
· А) у
·В


В нестрого включается в А

В подмножество А

Если каждый элемент множества B является элементом множества А, то говорят, что множество В нестрого включается в множество А
В
· А
(
·х
·В) х
·А


А равно В

Если В
· А и А
· В, то множества А и В называются равными.
Обозначаются как А = В

А = В
1) (
·х
·В) х
·А
2) (
·y
· А) y
·В


А и В пересекаются

Если множества А и В имеют общие элементы, то такие множества называются пересекающимися

В
· А
· ш
(
·х
· А) х
·В


А и В не пересекаются

Если два множества не имеют общих элементов, то они называются непересекающимися
В
· А= ш

1) (
·х
· А) х
·В
2) (
·у
·В) у
· A



Из элементов нескольких множеств можно образовывать новые множества, такие преобразования называются операциями над множествами.
Основные операции над множествами представлены в таблице 2.
Таблица 2
Операции над множествами
Операция. Диаграмма Эйлера- Венна
Обозначение и характеристическое свойство
Определение


Пересечение

А
·В ={x | x
· A
· x
·B}
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В

Объединение
А
·В = {х | х
· А
· х
·В}


Объединением множеств А и В называется такое множество, все элементы которого принадлежат множеству А или множеству В

Разность
А\В = {х | х
· А
· х
·В}


Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат В


В случае, когда В – подмножество А (В
· А), разность А\В называют дополнением множества В до множества А и обозначают САВ.
Множество, объединяющее несколько множеств, называется универсальным для данных множеств. Универсальное множество – неоднозначно. Например, рассматриваемые множества А – множество кошек, В – множество собак, С – множество коров. Для множеств А, В, С универсальным являются множества U1 – множество домашних животных, U2 – множество млекопитающих, U3 – множество четвероногих.
Основные свойства операций над множествами
Коммутативность пересечения множеств
А
·В = В
· А
Коммутативность объединения множеств
А
·В = В
· А

Ассоциативность пересечения множеств

·В)
·С = А
·(В
·С)
2. Ассоциативность объединения множеств

·В)
·С = А
·(В
·С)

Дистрибутивность пересечения относительно объединения множеств
А
·(В
·С) = (А
·В)
·(А
·С)
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения множеств
А
·(В
·С) = (А
·В)
·(А
·С)

Законы поглощения

А
·(А
·В) = А
А
·(А
·В) = А

Законы идемпотентности

А
· А = А
А
· А = А

6. (А\В)\С = (А\С)\В

7. ( А
·В )\С = (А\С)
·(В \С)

8. (А\ В)
·С = (А
·С) \ (В
·С)

9. А \ (В
·С) = (А\ В)
·(А \С)

10. А \ (В
·С) = (А\ В)
·(А \С)


Типы практических задач, для решения которых используется теория множеств
Разбиение множеств. Классификация
Классификация – действие распределения объектов по классам. Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество разбито на классы Х1, Х2, , Хn, , если:
1) подмножества Х1, Х2, , Хn, попарно не пересекаются;
2) объединение подмножеств Х1, Х2, , Хn, совпадает с множеством Х.
Если одно из условий не выполнено, то классификация считается неправильной.
Классификация относится к такой операции над множествами как разбиение множеств. Наглядно эту операцию можно представить в виде разбитой тарелки. Кусочки разбитой тарелки не пересекаются, и при соединении их вновь получается «целая» тарелка.
Переход от одного способа задания множества к другому
От характеристического способа задания множества к перечислению элементов целесообразно переходить для конкретизации, уточнения полученной информации. Переход к характеристическому способу задания множества обычно осуществляют с целью обобщения, сокращения количества информации при передаче информационного сообщения.
Принадлежность элемента к множеству
При выполнении различных тестов, при решении практических задач часто приходится отвечать на вопрос: «Какой элемент в данном ряде объектов является лишним». В данном случае используется проверка принадлежности
элемента к какому-либо множеству. В подобных задачах в первую очередь выясняется, к какому множеству
принадлежат большинство элементов, затем проверяется принадлежность каждого элемента к выявленному множеству. Если элемент не принадлежит множеству, то он исключается из ряда предложенных объектов.

Подсчет количества элементов в объединении, пересечении и разности конечных множеств
Число элементов в объединении двух непересекающихся множеств.
Правило 1. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержится а + b элементов, т. е. m(А
·В) = m(A) + m(B) = a + b .
Число элементов разности двух множеств
Правило 3. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов и B
· A, то во множестве А\В содержится а - b элементов, т.е. m(А \ В) = m(A)
·m(B) = a
·b.
Число элементов в объединении двух пересекающихся множеств
Правило 4. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов и множества А и В пересекаются и в пересечении содержится с элементов, то в объединении множеств А и В содержится а + b - с элементов
m(А
·В) = m(A) + m(B) – m(А
·В) .
Данное правило обосновывается тем что, складывая элементы пересекающихся множеств А и В, мы дважды считаем элементы, принадлежащие их пересечению.


Практические задания
Примеры решений
I тип. Способы задания множеств. Принадлежность элементов множеству.
Мощность множеств
Задача. Определить способ задания множества А = {а, б, в, г, д, е, ё, ж, з, и, й, к, л, м, н, о, п, р, с, т, у, ф, х, ц, ч, ш, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я}. Перейти к другому способу, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы: п, 1, L, л, д, g, s, 8, u, й, ж, i, ю, я, 1500 данному множеству.
Решение
а) Перечислены все элементы множества А, следовательно, множество задано перечислением. Любое множество можно задать с помощью характеристического свойства.
б) Общим свойством элементов данного множества А является то, что все они буквы русского алфавита. Следовательно, с помощью характеристического свойства множество представимо как А = {x | x – буква русского алфавита}.
в) Общее число элементов множества А, множества букв русского алфавита, равно 33, поэтому его мощность m (A) = 33.
г) Чтобы определить, принадлежит ли элемент множеству А, достаточно проверить, перечислен ли он как его элемент.
Ответ: множество задано перечислением, характеристическое свойство А = {x | x – буква русского алфавита},
m (A) = 33, п
· А, 1
· А, L
· А, л
· А, д
·А, g
· А, s
· А, 8
· А, u
· А, й
· А, ж
· А, I
· А, ю
· А, я
· А, 1500
· А.

Задача. Определить способ задания множества С – множества прямых. Перейти к другому способу, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли горизонтальные прямые, окружность, кошки, вертикальные прямые, числа данному множеству.
Решение
а) Множество С задано характеристическим свойством неявно. Явная форма задания С = {w | w – прямая}.
б) Прямых существует бесконечно много, поэтому множество С является бесконечным и задать его перечислением нельзя.
в) Если a – горизонтальные прямые, b – окружность, c – кошки, d – вертикальные прямые, e – числа, то так как параллельные и перпендикулярные прямые являются прямыми, а все остальные объекты ими не являются, следовательно, a
·C, b
· C, c
· C, d
· C, e
· C.
Ответ: Множество С задано характеристическим свойством, перечислением не задается, a
·C, b
· C, c
· C, d
· C, e
· C, где а – горизонтальные прямые, b – окружность, c – кошки, d – вертикальные прямые, e – числа.

II тип. Отношения между множествами
Задача. Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условной записи. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-
Венна:
а) А – множество научных дисциплин, за достижения в которых вручается Нобелевская премия, B – множество всех научных дисциплин.
б) E – множество бегемотов, F – множество гиппопотамов.
в) G – множество людей, H – множество жилых домов.
г) I – множество студентов, J – множество людей, увлекающихся классической музыкой.
Решение
При решении воспользуемся определениями отношений, приведенных в таблице 1.
а) Известно, что за достижения в математике Нобелевская премия не вручается. Получается, что не каждый элемент множества В содержится в множестве А, тогда как каждый элемент множества А принадлежит множеству В. То есть 1) (
·х
· А) х
·В и 2) (
·у
·В ) у
· А. Исходя из определения отношения строго включения, приходим к выводу, что множество А строго включается в В. Условная запись А
· В.
б) Каждый бегемот является гиппопотамом, и каждый гиппопотам является бегемотом, т. е. (
·х
·E ) х
·F и (
·y
·F ) y
·E , следовательно, E
· F и F
· E . По определению равенства множеств приходим к выводу, что множества E и F равны (совпадают). Условная запись E = F.
в) Ни один человек не является жилым домом, также ни один дом не является человеком (т. е. (
·х
·G) х
·H и (
·у
·H) у
·G), следовательно, множества G и H не имеют общих элементов (
· z(z
·B
· z
· A) ). Исходя из определения, можно сделать вывод, что множества G и H не пересекаются. Условная запись G
·H = ш.
г) Существуют люди, являющиеся одновременно студентами и увлекающиеся классической музыкой
·х(x
·I
· x
·J). Также есть студенты, не увлекающиеся классической музыкой
·у(y
·I
· у
·J ) , и есть люди, увлекающиеся классической музыкой, но не являющиеся студентами
·z(z
·J
· z
·I) . Получается, что множества I и J имеют общие элементы, и имеют элементы, принадлежащие одному множеству, но не принадлежащие другому, следовательно, по определению пересекающихся множеств I и J пересекаются. Условная запись I
· J
· ш.

Задача. Сравнить множество А с множествами B, C, D. Если множества пересекаются, найти их пересечения. Найти универсальное множество для данных множеств. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна.
А = {красный, желтый, синий, зеленый}.
B = {красный, желтый}.
С = {желтый, синий, черный, оранжевый2иf5}.
D = {коричневый, голубой, розовый}.
Решение. Все элементы множества В содержатся во множестве А, но не все элементы множества А являются элементами множества, поэтому В
· А.
А
·В = {красный, желтый}. А
·С ={желтый}. А
·D = ш.
U = {множество цветов}.

Задача. Сравнить множество А с множествами B, C, D. Сравнить
множества B, C, D. Найти попарно пересечение множеств В, С, D. Найти
универсальное множество для данных множеств. Изобразить отношения
между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна.
А = {а | a – студент ЧГПУ}.
B = {b | b – студент - филолог ЧГПУ}.
С = {с | с – студент-историк ЧГПУ}.
D = {d | d – студент первого курса ЧГПУ}.
Решение
В
· А, С
· А, D
· А, , В
·С = ш. В
·D – студенты-филологи первого курса ЧГПУ. С
·D – студенты-историки первого курса ЧГПУ. U – множество всех студентов ЧГПУ.

III тип. Операции над множествами
Задача. Найти множество, являющееся пересечением множеств А = {1, 2, 5, 7,10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.
Решение
По определению операции пересечения, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В. То есть С = А
·В = {2, 5, 7}. m (C) = 3.

Ответ: С = А
·В = {2, 5, 7}, m (C) = 3.

Задача. Найти множество, являющееся объединением множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В.
Построить диаграммы Эйлера-Венна.
Решение
По определению операции объединения, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или В. То есть С = А
·В = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}. m (C) = 8.
U – универсальное множество, то есть множество, объединяющее множества А и В. Например, это может быть множество первых 10 натуральных чисел, а именно U = {x | x
· 10, где x
· N }.
Ответ: С = А
·В = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}, m (C) = 8, U = {x | x
· 10, где x
· N }
С= А
·В

Задача. Найти множество, являющееся разностью множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.
Решение С = А\В
По определению разности, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат В. То есть С = А \ В = {1, 10}. m (C) = 2.
Ответ: С = А \ В = {1, 10}, m (C) = 2.

Задача. Даны множества R = {x | x – учитель химии}, E = {y | y – учитель биологии}. Найти R
·E, R
·E, R\E, E\R, U – универсальное множество для множеств R и E.
Решение
Опираясь на определения соответствующих операций над множествами, найдем пересечение, объединение и разность данных множеств.
R
·E = {z | z – учитель химии и биологии} – учителя химии и биологии одновременно.
R
·E = {w | w –учитель химии или биологии} – все учителя химии, биологии и учителя одновременно химии и биологии.
R\E = {y | y – учитель химии} – только учителя химии.
E\R = {t | t – учитель биологии} – только учителя биологии.
Используя определение универсального множества, найдем U.
U = {u | u – учитель} – все учителя, и действительно, заданное подобным образом множество U включает в себя (объединяет) и множество R, и множество E, т. е. R
· U, E
· U.
Ответ: R
·E – учителя химии и биологии одновременно, R
·E все учителя химии, биологии и учителя одновременно химии и биологии, R\E – только учителя химии, E\R – только учителя биологии, U – все учителя.

Задача. Даны множества А = {a, e, f, d, k, l}, В = {b, c, e, d, k, m}. В результате какой операции над А и В получены множества C = {a, b, c, d, e, f, f, k, l, m}, D = {все буквы латинского алфавита}, E = {b, c, m}, F = {e, d, k}, G = {a, f, l}?
Решение
Проанализируем, из каких элементов множеств А и В составлены множества C, D, E, F.
Во множество С включены элементы, принадлежащие и множеству А, и В, а также элементы, принадлежащие А и В одновременно, т. е. можно сказать, что к С отнесены элементы, принадлежащие множеству А или В. Исходя из определения операции объединения, приходим к выводу, что С = А
·В.
Элементы множества А полностью содержатся во множестве D, элементы множества В полностью содержатся во множестве D, но не все элементы множества D являются элементами А и В. Следовательно, по определению строгого включения множеств А
· D, B
· D. Таким образом, по определению универсального множества D является универсальным множеством для А и В, как множество, объединяющее их.
Во множество Е включены элементы, принадлежащие множеству B и не принадлежащие А. Исходя из определения разности множеств, приходим к выводу, что Е = В\А.
Во множество F включены элементы, принадлежащие множеству А и В одновременно. Исходя из определения операции пересечения, приходим к выводу, что F = А
· В.
Во множество G включены элементы, принадлежащие множеству A и не принадлежащие B. Исходя из определения разности множеств, приходим к выводу, что G = A\B.
Ответ: С = А
· В, D – универсальное множество для А и В, Е = В\А, F = А
· В, G = A\B.

IV тип. Доказательство свойств операций над множествами
Задача. Доказать дистрибутивное свойство операции пересечения относительно объединения А
·(В
·С) = (А
·В)
·(А
·С) .
Доказательство
Существует два способа доказательства равенства множеств: аналитический и графический. Воспользуемся графическим способом, а именно, изобразим с помощью кругов Эйлера-Венна операции над множествами в левой и в правой частях равенства. Если полученные множества совпадают, то равенство верно, т. е. свойство доказано.
Таблица 3
Графическое доказательство свойств множеств

Шаг
Левая часть равенства
Правая часть равенства

1.

В
·С

А
·В


2.

А
·(В
·С)

А
·C


3.



·В)
·(А
·С)


Как видим, результат (диагональная штриховка на втором шаге) операций над множествами А, В, С из левой части равенства совпадает с результатом операций над этими же множествами (диагональная штриховка на третьем шаге). Следовательно, равенство верное, что и требовалось доказать.

V тип. Задачи на множества
Разбиение множеств. Классификация
Задача. Определить основание классификации. Проверить, является ли она правильной, если нет – найти, в чем ошибка:
а) меланхолик, флегматик, холерик;
б) файлы программ, служебные файлы и файлы данных;
в) естественные, искусственные, живые языки.
Решение
а) Меланхолик, флегматик, холерик – это темпераменты человека.
Основание классификации – тип темперамента. Классификация неверная, так как она не полная: не хватает четвертого типа темперамента – сангвиника.
б) Файлы программ, служебные файлы и файлы данных – это типы файлов. Основание классификации – назначение файлов. Классификация правильная, так как она полная (нет файлов другого назначения и объединение этих типов файлов дает множество всех файлов) и множества файлов программ, служебных файлов и файлов данных попарно не пересекаются (например, служебный файл не может быть одновременно файлом данных и наоборот).
в) Естественные, искусственные – это классификация по происхождению языков. Живые языки относятся к другой классификации (по применению в настоящее время). Очевидно, что классификация неверная, так как она избыточна. И к тому же, множество живых языков пересекается с множествами естественных и искусственных языков (например, русский язык является естественным и одновременно живым).

Переход от одного способа задания множества к другому
Задача. Каким способом следует задать множества в следующих ситуациях:
а) Мама говорит ребенку: «Собирай исключительно съедобные грибы»;
б) Студентам перед началом летней педагогической практики сообщают: «Подготовьтесь к работе с детьми младшего школьного возраста».
в) Рекомендация врачей: «При температуре -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10 градусов голову рекомендуется защищать тонкой шерстяной шапочкой».
Решение
а) В данном случае множество задано характеристически, ребенку в лесу приходится задавать множество съедобных грибов перечислением: сыроежка, белый, подосиновик, подберезовик, масленок и т. д.
б) В данном случае множество так же задано характеристически, но студенты при подготовке к практике должны точно представлять, что речь идет о детях 6-, 7-, 8-, 9-, 10-летнего возраста (т. е. задают множество
перечислением).
в) Множество задано перечислением, хотя для экономии времени и сокращения длины информационного сообщения множество проще было бы задать характеристическим свойством: «при температуре от -1 до -10».

Принадлежность элемента множеству
Задача. Исключите лишние элементы:
а) Булгаков, Есенин, Лермонтов, Пушкин, Толстой, Шекспир.
б) Прыжки в длину, в высоту, с десятиметровой вышки, тройной прыжок.
в) Клубника, арбуз, вишня, яблоко, смородина.
г) 22, 17, 180, 25006, 6, 84.
Решение
а) Представлены элементы множества А – русские писатели. Шекспир не принадлежит данному множеству.
б) Представлены элементы множества В – виды прыжков в легкой атлетике. Прыжки с десятиметровой вышки не принадлежат данному множеству.
в) Перечислены элементы множества С – ягодные культуры. Яблоко является фруктом, значит, оно не принадлежит данному множеству.
г) Общий признак у большинства чисел: они делятся на два, т. е. принадлежат множеству D – четные числа. 17 – не является четным числом, значит, исключается из данного множества.
Ответ: Шекспир, прыжки с десятиметровой вышки, яблоко, 17.

Подсчет количества элементов в объединении, пересечении и разности конечных множеств
Задача. Известно, что в некотором информационном сообщении содержится 578 согласных букв и 234 гласных (в сообщении отсутствуют ь и ъ). Сколько всего букв в сообщении?
Решение
Известно, что множества гласных и согласных букв не пересекаются, следовательно, по правилу 1, в сообщении 578+234 = 812 букв.
Ответ: 812.

Задача. Множество А - студенты ЧГПУ; m(A) = 6000; В - преподаватели ЧГПУ; m(B)=340; C – непреподавательский состав ЧГПУ; m(C) = 110. Из скольких человек состоит коллектив ЧГПУ?
Решение
Данные множества попарно не пересекаются, поэтому по правилу 2 m(A) + m(B) + m(C) = 6000 + 340 + 110 = 6450.
Ответ: 6450.

Задача. А – абитуриенты, поступавшие в ЧГПУ в 2004 году. m(A) = 2000. В – студенты первокурсники ЧГПУ в 2004/2005 году, m(B) = 900. Сколько абитуриентов, не поступивших в 2004 году в ЧГПУ?
Решение
B
· A, А/В – абитуриенты, не поступившие в ЧГПУ в 2004 году. По правилу 3 m(A/B) = 2000-900 = 1100.
Ответ: 1100.

Задача. В школьной библиотеке содержатся книги с русскими текстами, книги с английскими текстами, некоторые книги содержат как английские, так и русские тексты. Известно, что из 590 книг в 500 есть тексты на русском языке, и в 100 книгах – английские тексты. Сколько книг содержат тексты как на русском, так и на английском языке? Сколько книг содержат тексты только на русском языке? Сколько книг содержат тексты только на английском языке?
Решение
Пусть А – множество книг, содержащие тексты на русском языке, В – на английском языке. Множества А
·В пересекаются, поэтому сумма книг на русском языке и книг на английском языке (500+100 = 600) больше общего
числа книг (русско-английские книги подсчитаны в сумме дважды, т. к. подсчитаны как книги с русскими текстами, так и книги с английскими текстами). Чтобы найти количество книг, содержащих как русские, так и
английские тексты, нужно из суммы книг на русском языке и книг на английском языке (600) вычесть общее количество книг в библиотеке. Т. е. 600 – 590 = 10. Таким образом, книг, содержащих как русские, так и английские
тексты 10; книг, содержащих только русские тексты 500 – 10 = 490; книг, содержащих только английские тексты 100 – 10 = 90. Проверка: всего книг 490+10+100 = 590.
Ответ: книг, содержащих как русские, так и английские тексты 10; книг, содержащих только русские тексты 490; книг, содержащих только английские тексты 90.

Задача. В бухгалтерии мебельной фабрики было обнаружено расхождение в сведениях: за месяц общий объем изготовленных кроватей и кресел 780 единиц, но, по данным из кроватного цеха, кроватей выпущено 360, из кресельного цеха вышло 540 кресел. В чем причина расхождения данных, сколько на самом деле кресел и кроватей выпускают соответствующие цеха?
Решение
Один из цехов или оба цеха выпускают кресла-кровати. В отчете кресельный цех их представляет как кресла, а кроватный цех – как кровати. Пусть А – множество кроватей, В – множество кресел, А
·В – кресла-кровати.
Тогда по правилу 4 нахождения числа элементов в объединении двух пересекающихся множеств m(А
·В) = m(A) + m(B) – m(А
·В) найдем мощность множества А
·В, используя данные задачи. 780 = 360 + 540 - m(А
·В) .
m(А
·В) = 120, т. е. кресел-кроватей произведено 120. Тогда обычных кресел произведено 540 – 120 = 420, а обычных кроватей 360 – 120 = 240. Таким образом, полученные данные устраняют расхождение в бухгалтерских сводках всего 780 единиц продукции, из них 420 кресел, 240 кроватей и 120 кресло-кроватей (780 = 780).
Ответ: 660 кресел, 240 кроватей.

Задачи для самостоятельного решения
I тип
Задача 34*. Определить способ задания множества А = {x | x – буква английского алфавита}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли
элементы данному множеству: g, ж, 256, ~, =, t,q, ю, т, -5.
Задача 35*. Определить способ задания множества А = {x | x – натуральное число}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы
данному множеству: g, ж, 256, ~, =, t,q, ю, т, -5.
Задача 36*. Определить способ задания множества А = {Январь, Февраль, Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь, Октябрь, Ноябрь, Декабрь}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно.
Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: среда, Март, 165, *, ф, зима, Август, 3,14.

II тип
Задача 37**. Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов
Эйлера-Венна.
a) А – множество людей, живущих в Европе, В – множество европейцев;
b) С – множество голубоглазых людей, D – кареглазых млекопитающих;
c) G – множество атмосферных осадков, H – множество автомобилей;
d) I – множество студентов, J – множество спортсменов.
Задача 38**. Сравнить множество А со множествами B, C, D. Если множества пересекаются, найти их пересечение. Для данного множества найти универсальное множество. Изобразить отношения между множествами с
помощью кругов Эйлера-Венна. А – розы, фиалки, гладиолусы, камелии, B – георгины, лилии, C – гладиолусы,
фиалки, D – гвоздики, розы, ирисы, тюльпаны.

III тип
Задача 39**. Найти множество, являющееся пересечением множеств А={д, е, ф, ж, в, г, п, с} и В={а, б, г, и, к, л. ж о} и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.
Задача 40**. Найти множество, являющееся объединением множеств А={h, l, m, p, q} и В={l, p, o, g, t, s, h} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы
Эйлера-Венна.
Задача 41**. Найти множество, являющееся разностью множеств А={a, b, c, d, e, f, g} и В={h, i, j, a, k, l, f} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы
Эйлера-Венна.
Задача 42**. Даны множества А = {10, 26, 17, 34, 56, 84} и В = {2, 4, 28, 46}. В результате каких операций над множествами А и В получены множества С={10, 26, 17, 34, 56, 84, 2, 4, 28, 46}, D – все натуральные числа, E={},
F={10, 26, 17, 34, 56, 84},G = {2, 4, 28, 46}.

IV тип
Задача 43**. Доказать следующие свойства операций над множествами, записать названия свойств:
а) А
·В = В
· А;
б) А
·В = В
· А;
в) (А
·В)
·С = А
·(В
·С) .
Задача 44**. Доказать следующие законы теории множеств, записать названия законов:
а) А
·(А
·В) = А;
б) А
· А = А.
Задача 45***. Доказать следующие свойства разности множеств:
а) (А\В)\С = (А\С)\В;
б) ( А
·В)\С =(А\С)
·(В \С) ;
в) (А\ В)
·С = (А
·С) \ (В
·С) ;
г) А\ (В
·С) = (А\ В)
·(А\С) ;
д) А\ (В
·С) = (А\ В)
·(А\С) .

V тип
Задача 46***. Определить основание классификации. Проверить, является ли классификация правильной, если нет – найти ошибку.
а) Зима, весна, лето, осень
б) Понедельник, вторник, четверг, суббота
Задача 47***. Каким способом следует задать множество в следующих ситуациях:
а) Замечание тренера: «При температуре ниже -200С не следует кататься на лыжах».
б) Преподаватель сообщает студентам: «В течение педагогической практики вы должны будете провести внеклассное мероприятие для учащихся старших классов».
Задача 48***. Исключите лишние элементы:
а) Белка, утка, лебедь, пеликан
б) Я, п, д, t, ъ,э
в) Бег, плавание, езда на велосипеде, лыжи
г) 126, 843, 711, 163, 540
Задача 49 ***. В видеотеке ОРТ имеется 1000 фильмов российского производства и 2000 фильмов американского производства. А всего в видеотеке 2350 фильмов. Сколько фильмов только российского, только американского и
совместного производства имеется в видеотеке ОРТ?

Домашнее задание
Вариант 1
1.Определить способ задания множества А={x | x – символ арифметической операции}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: а, =, 12, +, h, t, :
2.Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна: А – множество спортсменов, В – множество бегунов.
3.Найти множество, являющееся пересечением множеств А = {
·,
·, =,
·,
·} и В = {
·,
·, \} и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.
4.Доказать свойство операций над множествами, записать название свойства А
·(В
·С) = (А
·В)
·(А
·С) .

Вариант 2
1.Определить способ задания множества А={
·, U , \}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: б, д,
136, -28, =,
·, .
2.Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна:
А – множество крокодилов, В – множество аллигаторов.
3.Найти множество, являющееся объединением множеств А = {рубль, доллар, евро} и В = {марка, йена, эскудо}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы
Эйлера-Венна.
4.Доказать следующий закон теории множеств, записать название закона: А
· А = А.

Вариант 3
1.Определить способ задания множества А={x | x – операции между множествами}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: ~,
·, =, д, f, №, 248.
2.Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна: А – множество учителей, В – множество специалистов по географии.
3.Найти множество, являющееся разностью множеств А = {чашки, тарелки, блюдца} и В = {супницы, стаканы, чайники, блюдца}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.
4.Доказать следующий закон теории множеств, записать название закона: А
·(А
·В) = А.

Вариант 4
1.Определить способ задания множества А={красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества.
Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: 5486, -, &,
· , синий, фиолетовый.
2.Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна: А – множество видов общественного транспорта, В – множество грузовиков.
3.Найти множество, являющееся разностью множеств В = {Пролог,Фортран, Алгол, Паскаль, Си} и А = {Паскаль, Си, Ассемблер}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.
4.Доказать свойство операций над множествами, записать название свойства (А
·В)
·С = А
·(В
·С).

Контрольные вопросы
1.Что такое множество?
2.Как множества задаются?
3.Как определить, принадлежит ли элемент множеству или нет?
4.Каким символом обозначается принадлежность, непринадлежность элемента множеству?
5.Чем характеризуется множество с позиции количества элементов?
6.Как принято обозначать характеристику, связанную с количеством элементов множества?
7.На какие классы подразделяются множества по количеству элементов?
8.Что такое универсальное множество?
9.Какие отношения между двумя множествами существуют?
10. Как задаются отношения между двумя множествами?
11. Какие условные записи соответствуют отношениям между двумя множествами?
12. Какие существуют операции над множествами?
13. Как определяются операции над множествами?
14. Какими символами обозначаются операции над множествами?
15. Какими характеристическими свойствами обладают множества,
полученные в результате различных операций?
16. Какими свойствами обладают операции над множествами?
17. Какие существуют типы задач, решаемые в рамках теории множеств и с ее помощью?

Библиографический список
1.Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В. Грес. – М.: Логос, 2003. – С. 33–45.
2.Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.: Питер, 2004. – С. 50–64.
3.Турецкий В. Я. Математика и информатика / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. (Серия «Высшее образование») – С. 22–35.
4.Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.: И.И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. С. 12–20.
5.Гришин М. П. Математика и информатика: учебное пособие / М.П. Гришин. – 2-е изд., стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – С. 8–18.__








13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115



13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415



Root Entry

Приложенные файлы


Добавить комментарий