Программа элективного курсаМодуль или абсолютная величина числа для учащихся 9-11 классов.


Программа
элективного курса для учащихся 9-х классов:
«Абсолютная величина числа или модуль».
Авторы: Долгинцева Л. В., Ладющенкова О. Е.
Пояснительная записка.
Уравнения, неравенства и другие задачи, связанные с модулем, в последние годы стали широко использоваться как на школьных экзаменах, так и экзаменах при поступлении в учебные заведения. К сожалению, эти задачи либо мало, либо вообще не представлены в учебниках для общеобразовательных классов. В учебниках с углублённым изучением математики задачи, содержащие модуль, представлены достаточно полно.
Цель курса: создать целостное представление о теме и расширить спектр задач, посильных для учащихся.
Задачи:
Создание устойчивого интереса к предмету, развитие математических способностей, подготовка к обучению в профильных классах;
Предоставление учащимся возможности проанализировать свои способности к математической деятельности;
Развитие способности к самостоятельному обучению и творчеству;
Оказание помощи в углубленном изучении данной темы.
Формы и методы работы:
Исключение методов принуждения в учёбе;
Использование приёмов, активизирующих работу школьников, дифференцированные задания, свободный выбор заданий для домашней самостоятельной работы;
Проведение уроков «общения», на которых рассматриваются дополнительные, часто применяемые свойства;
Использование групповых форм работы;
Формой контроля может стать обучающая самостоятельная работа, итоговое тестирование, исследовательская работа.
Планируемые результаты:
Задачи с модулем расширят и углубят базовый раздел «Модуль».
Учащиеся приобретут навык в решении задач, содержащих модули.
Этот курс поможет ученику проверить себя и ответить на вопрос: «Могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?»
Содержание:
Программа содержит три блока, связанных одной идеей. Можно использовать все блоки или любой из них.
Первый блок осуществляет актуализацию и систематизацию базовых знаний и умений, рассматривает стандартные задачи с модулем и расширяет спектр задач, посильных для учащихся.
Во втором блоке идёт речь о построении графиков функций, содержащих знак модуля.
В третьем блоке рассматриваются задачи с модулем и параметром, а также нестандартные задания с модулем.
На изучение трёх блоков отводится 20 часов.
Тематическое планирование.

п/п Наименование разделов и тем К-во
час. Форма контроля
1 А) актуализация знаний
Б) полезные упражнения
В) уравнения с модулем
Г) неравенства с модулем 1
1
3
3 Составление опорного конспекта, учебный проект
Урок «общения»
Самоконтроль, обучающая самостоятельная работа
Самоконтроль, проверочная самостоятельная работа
2. А) основные сведения о функциях – преобразования сдвига вдоль осей координат, сжатие и растяжение, построение графиков функций у = f(-x), y = - f(x)
Б) построение графиков функций 2
4 Исследовательская самостоятельная работа.
Оценка в малых группах
Исследовательская самостоятельная работа.
работа в группах
3. А) Модуль и параметры
Б) Нестандартные задачи с модулем 1
3 Моделирование
Поисковая работа
4. Проверка усвоения знаний 2 Тестирование. Защита исследовательского проекта
Литература.
Ткачук В. В. Математика абитуриенту. М., «Тепс» 1995.
Рурукин А. Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике. М., «Вако» 2004.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр. Киев «А. С. К.» 1997.
Колесникова С. И. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. М., «Айрис Пресс» 2004.
Азевич А. М.Двадцать уроков гармонии. М., «Школа – пресс», 1998.
Генденштейн Л. Э., Ершова А. П., Ершов А. С. Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами. Москва – Харьков, 1997.
Башмаков М. И. и др. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Дидактические материалы. М., Дрофа, 2004.
Открытый лицей. Всероссийская Заочная Многопредметная школа (ОЛ ВЗМШ). Пособия 1999-2002 г.
Задания школьных физико-математических школ: Долгопрудный, г. Тверь, г. Москва, МГУ.
Журнал «Математика в школе», №4-№5 – 2004.
Газета «Математика», №№ 3, 20, 23, 25-28, 33 – 2004 г.
Приложения
Блок 1.
Определение. Абсолютной величиной числа или модулем числа а (с обозначением ) называется расстояние от точки, изображающей данное число а на координатной прямой, до начала отсчёта.

Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному числу, модуль числа 0 равен 0.
Записывают: = а, если а – положительное,
= - а, если а – отрицательное,
= 0, если а = 0.
Примеры:
= 0; = 12; = 17, = 4; = 2.
Закончи каждое равенство:
= … , если а – отрицательное,
= … , если х – положительное,
m = … , если m = -13,
- = … , если у – положительное,
= … , если у – отрицательное.
Сравни: (- 5) и - (+5);
и
и - ;
0 и (-21);
и .
4. Модуль некоторых чисел равен: а) 9. Это числа …,
б) 0. Это числа …,
в) - 9. Это числа …
5. Отметь на числовой прямой все значения х, удовлетворяющие всем перечисленным условиям: 1) х – целое, < 3; 2) х – целое, х > 0, < 5;
3) х – натуральное, 2 < < 4; 4) х < 0, < -2.
6. Поставь метки И (истинно) или Л (ложно):
Для любых значений t верно равенство = t;
Равенство = - а верно для а = 0;
m>n, то > ;
> , то m > n.
Основные свойства модуля.
1) 2) = ; 3) > a; 4) = ; 5) = ;
6) + ; 7) = + , тогда и только тогда, когда ab 0;
8) + = а + в, тогда и только тогда, когда
9) = + , тогда и только тогда, когда ab 0;
10) - , тогда и только тогда, когда а2- в2 0.
Полезные упражнения.
Раскрыть модуль: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) .
Самоконтроль:
а) Модулем положительного числа является ……. Например ……..
б) Модулем отрицательного числа является …….. Например …….
в) Модулем нуля является ………..
2. Упрости: -(-27); - ; ; + (- 24); - (+ 2а); - (- (+ 2а)).
3.Отметь на числовой прямой все точки удовлетворяющие условиям:
1) а – целые, а =4; 2) х – целые, 4; 3) в – натуральные, = 3
4) t – неотрицательные, = 0.
4. Приведи примеры, опровергающие данные высказывания:
1) «значение выражения (-m) всегда отрицательно»
(например: «если m = …, то …»);
2) «если , m > n» (например, если m = …, n =0, то …, но …);
3) «если то m =n;
4) «для любых значений t верно равенство = t»;

Уравнения с модулем.
Ещё раз обратимся к опорному конспекту:

1. , , ,
2. Вычислите , если а =3; а = -5.
Определите, какие из предложенных решений верны:
1) а, если , поэтому = 3, т. к. 3>0;
2) если а < 0, поэтому = -5, т. к. –5 < 0.
Запишите решение 2) правильно.
3. Преобразуйте любое из данных выражений к такому виду, чтобы в записи не использовался знак модуля: (выбор учащихся: а) или б) или в)).
а) , б) в) .
Повторяем: модуль числа а – это расстояние от точки с координатой а до начала координат.
о а
4. Решить уравнения: 1) 2) 3) Изобразите решение на координатной прямой.
5. Внимательно рассмотрите предложенные уравнения:
1) 2) 3) ,
4) 5) 6)
7) , 8) 9)
10)
а) Распределите данные уравнения по группам:
I
Модуль содержится в левой части II
Модуль содержится в обеих частях уравнения III
Уравнение содержит двойной модуль
…………
………… ……………
…………… ……………..
…………….

б) Решите уравнения 3), 6). 8) разными способами ( на доске с помощью учителя).
в) Решите одно из уравнений (по выбору):
1) 2) 3)
Рефлексия: при помощи шкалы ответьте на вопросы:
Кто может решить уравнение самостоятельно?
Кому нужна помощь?
Кто не может самостоятельно решить уравнение?
(со второй группой работает консультант; с третьей – учитель)
г) Решите уравнение 10).
Вопросы при решении:
Чем данное уравнение отличается от предыдущих? (двойным модулем).
Как «избавиться» от одного из модулей?
Что можно сказать о решении уравнения
д) Остальные уравнения решите дома по желанию.
Обобщение.
Способы решения уравнения вида :
I способ (по определению) II способ (используя равносильные преобразования)

III способ (частный случай)
,
в < 0, уравнение корней не имеет;
в =0, f(x)=0;
b > 0,
Каким способом легче решить уравнения?
1) 4)
2) 5)
3)
Решите уравнения самостоятельно:
1) 5)
2) 6)
3) 7)
4) 8)
Ответы: 1) нет решений. 2) нет решений. 3) 4) х = 3. 5) х = 3, х = 11. 6) х = -1.
7) 8) х = ½.
Проверочная самостоятельная работа.
Решите уравнения:
1) , 5)
2) 6)
3) 7)
4) 8)
Ответы: 1) нет решений. 2) –5; 5. 3) 4) х – любое действительное число. 5) –2; 0; 2; 4. 6) 0. 7) –1; 5. 8)
Неравенства с модулем.
1. Решим неравенства:
1) 2)

-2 0 2 -3 3
-2 < x < 2.
3) 4)

-1< x< 5.
Ответ: х (-1; 5). Ответ: х
Полезные упражнения.
5) 8)
6) 9)
7) 10) х
х
2. Решите самостоятельно:
1) 5)
2) 6)
3) 7)
4) 8)
Обобщение.
Неравенство вида равносильно системе
Решить неравенства:
1.
-1 4
-4 1
1 < x < 4.
Ответ: х(1;4)
2.. х2 + 6

или
Ответ:
Неравенство вида равносильно совокупности
1.
5/6
1/2х
Ответ: х
2, х2-

-1 -6
-3 -2

Неравенство вида равносильно неравенству или

1.

(2х – 1 – х – 2)(2х – 1 + х + 2) > 0,
(х – 3)(3х + 1) > 0,
-1|3 3
x < -1|3 или x > 3.
Ответ:
2.
(3 + х – х)(3 + х + х)
Ответ:
Неравенства, в которых приходится раскрывать модуль по определению.
1.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

3/2

- ½ 2
х<2.
Ответ: х
Решить неравенство:

Решение.
х– 1 - 1 + +
х– 2 - - +
2
1) х<0;
2) нет решений.
3) x>6.
Ответ:
Неравенства с двойным модулем.
Решите неравенство
Решение.

Так как левая часть больше или равна нулю, а правая меньше или равна нулю, то равенство возможно при тех и только тех значениях х при которых левая и правая части неравенства одновременно равны нулю. Имеем равносильную систему уравнений:
х = 3.
Ответ: х = 3.
Решение неравенств с модулем методом логических рассуждений.
1.
Решение.
Так как при всех то х – 1>0, т. е. х >1.
Ответ:
2.
Решение:
Так как для всех , то данное неравенство равносильно совокупности

Ответ:
Решить самостоятельно.
1. Ответы:
2.
3.
4.
5. (0;2).
6. (1;+).
7. (-;5)(5;7).
8.
9. :
Проверочная самостоятельная работа по теме: «Уравнения и неравенства с модулем».
Подготовительное упражнение к самостоятельной работе
Найти ошибки в решении неравенства :
Решение:

3 8 Объединяя решения, получим 3 < х
3 2 Ответ:
Проверочную самостоятельную работу можно взять в следующей литературе:
1) ж. «Математика в школе» №2-2004 стр. 17 (карточки 1 – 8),
М. И. Башмаков. Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. Дидактические материалы. М – Дрофа, 2004 (стр. 26) (уровень работы ниже, чем в журнале).
Блок 2
Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля.
Понятие функции – важнейшее понятие математики. Умение строить графики и читать их – это один из главных элементов математической культуры. Эти умения необходимы представителям различных профессий. Часто график функции является лишь вспомогательным элементом решения. Необходимо знакомить учащихся с различными способами построения графиков функций, что пригодится в дальнейшем обучении.
В школьном курсе мы встречаем далеко не все способы построения графиков, поэтому предлагаемый курс систематизирует и расширяет ранее приобретённые знания.
Функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого данного множества сопоставляет единственное число у.
Обозначение: y = f(x), где x – независимая переменная (аргумент функции), y – зависимая переменная (функция).
Область определения D(y) – множество значений, которые может принимать переменная х.
Область значений функции (множество значений). Е(у) – множество значений, которые принимает функция у.
Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x;f(x)).
Y
f(x2)
x1
x2 x
f(x1)
Один из приёмов построения графиков – это преобразование исходных простейших графиков.
Рассмотрим некоторые основные типы преобразований графиков.
1. График функции y = f(x) + a (a>0) получается из графика функции y = f(x) сдвигом его вдоль оси оу (параллельным переносом) на а единиц вверх, а для функции y = f(x) – а – переносом на а единиц вниз. у =х2+1
у = х2
y = f(x) + a
y = f(x) у = х2-1,5
y = f(x) - a
-1,5
2. График функции y = f(x + a) (a>0) получается из графика функции y = f(x) сдвигом вдоль оси Ох на а единиц влево, график y = f(x-a) (a>0) – на а единиц вправо.
y=f(x2)
y = f(x) y=f(x+2)2 y=f(x-3)2
y = f(x + a) y = f(x - a)
-2 0 3
3. График функции y = kf(x) (k>0) получается из графика функции y=f(x) растяжением в k раз вдоль оси Оу при k>1 (сжатием в раз вдоль оси Оу при 0<k<1). При этом точки пересечения полученного графика с осью Ох – те же, что и у исходного графика.
y=2x2

y=x2
y =kf(x), 0<k<1 y=1|3x2

y = kf(x), k>1
График функции y = f(kx), (k>0) получается из графика функции y = f(x) сжатием вдоль оси Ох в k раз при k>1 (растяжением в раз при 0<k<1). При этом точки пересечения графика с осью Оу – те же, что и у исходного графика.

у у
y = f(kx), 0<k<1
y = f(kx), k>1
х х
y = f(x) y = f(x)
5. График y=B f(kx+a)+b строится поэтапным выполнением преобразований 1 – 4.
1) f(x) f(kx) (преобразование 4),
2) f(kx) f(k(x+)) (преобразование 2),
3) f(k(x+)) B f(k(x+)) (преобразование 3),
4) В f(k(x+)) В f(k(x+)) +b (преобразование 1).
6. График функции y= - f(x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно оси Ox.
у= f(x) Примеруу=х2
у
0х х
y = - f(x)
у= - х2
7. График функции y= f(- x) получается преобразованием симметрии графика функции y= f(x) относительно оси Оу.
у
y= f(x)
х
y= f(- x)
Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля.
В методической литературе этому вопросу уделяется немало внимания; наблюдения показывают, что такие задачи вызывают у учащихся затруднения при построении графиков. Для построения всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.
Определение
8. График функции получается из графика функции y= f(x) следующим образом: 1) часть графика y= f(x) для отражаем симметрично относительно оси Оу;
2) часть графика для x < 0 «пропадает».
Примеры:
1)
Пусть f(x) = 2x – x2, то данная в условии функция есть y= f().
у = 2x – x2, график – парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины (1;1). Точки пересечения с осью Ох: (0;0), (2;0).
у
у
1
2
0
1y=f(x)х-2 -1 0 1 у=f()

2) 3)
3
2
-3 -11 3-2 -1 1 2


(Можно строить график, используя
определение модуля:

).

4) у = х2 --2у
Вершина – ()
-2 2х
-2
График функции получается из графика функции y = f(x) следующим образом: 1) часть графика, лежащую над осью Ох, оставляем без изменения (точки графика с положительными ординатами);
2) часть графика, лежащую под осью Ох, отражаем симметрично относительно оси Ох.
Функция неотрицательна (её график расположен в верхней полуплоскости).
Постройте графики: 4
1)
-2 2


- 4

2)
0 2


3) . 1
1
-1

4) 2

1
10. Для того, чтобы построить график функции , надо сначала построить график функции y = f(x) при x>0, затем при x<0 построить изображение, симметричное ему относительно оси Оу, а затем на интервале, где f()<0, построить изображение, симметричное графику у= f() относительно оси Ох.

.
1

-2 2
11.Построение графиков зависимостей вызывают наибольшие затруднения, поэтому их построение можно разобрать дополнительно для хорошо успевающих учащихся. Учитывая, что в формуле и на основании определения модуля
Перепишем формулу в виде
Для построения графиков зависимостей (а не функций) достаточно построить график функции y = f(x) для тех х из области определения, при которых и отразить полученную часть графика симметрично оси Ох.
Таким образом, график зависимости состоит из графиков функций y = f(x) и y = -f(x), где
Построить графики зависимостей:
1) 2)
1
1
3) 4)


2 3

2 3
-6
12. Построение зависимостей
а) в)
1) Сначала строим
2) Отражаем симметрично оси Ох.
Или, проще говоря, надо объединить график y = f(x) и график, симметричный ему относительно оси Ох, т. е. y = - f(x)/
Примеры:
1) 2)

2


График функции
- биссектриса I координатного угла
биссектриса II координатного углаГрафик функции - прямой угол
с вершиной в точке (0;0) и сторонами,
направленными «вверх».
1) Постройте график функции:

а)
б)
в) -36
г)
д)

2) Постройте график функции
I способ: (х+1) - + +
(х-2) - -1 - 2 +
1) 3

2)
3) -1 2
II способ: график можно построить путём сложения ординат графиков функций
и соответствующих одним и тем же абсциссам.

3
-1 2
3) постройте график функции

3
-12
-3
Самостоятельно изобразите на координатной плоскости множество точек (х; у), удовлетворяющих равенству:
1) 3) 5) 7)
2) 4) 6) 8)
Ответы:
1) 3) 5)7)
2 1 4 -3 2
-4
2) 4) 6)8)
34
3-1,5 2 2
-21,5
И вообще, равенство изображается на координатной плоскости углом с вершиной в точке и сторонами, направленными вправо, если а>0, и влево, если а<0. Если а = 0, то изображается параллельными прямыми у = в + с и у = в – с.
Проверочная самостоятельная работа.
Постройте график функции:Ответы
1
1) у = 1 -
1
6
2) у = 23

3
3) у =
-1,5 1,5
1
4) = 1-2х 0,5

4
3
5) у =
-3 3
8
6) у =
-4 -2 0 2 4

7) у = 3
1
-5 -2 0 1
Блок III. Задачи с параметром и модулем.
Нестандартные задачи и модуль.
Задачи с параметром традиционно представляют для учащихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако, именно решение таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приёмов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале.
Уравнение с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром.
Рассмотрим уравнения с параметром и модулем:
1. = а 2. = - а
а < 0, нет решений; 1) а > 0, нет решений;
а = 0, х = 0; 2)а = 0, х = 0;
а > 0, х1 = а, х2 = - а. 3)а < 0, х1 = -а, х2 = а.
3. = -а2 4. + = 0
1) а = 0, х = 0; 1) а = 0, х = 0;
2) а 0, нет решений. 2) а 0, нет решений.
5. 6.
1) в < 0, нет решений;
2) в = 0, х = 2; 1) решений нет; 3)в> 0, х1 = в+2, х2 = 2-в. 2) а > 0, то

Проверим, нет ли таких а, при которых х = 2.
нет решений; нет решений.
Таких а нет.
Ответ: при уравнение не имеет решений,
При а>0,
Решите уравнение
I способ. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.
Имеем,
II способ. Графический.
Построим графики функций и

1
1

Общие точки графиков функций и существуют в двух случаях:
при а = 0, х = 0; при а = 1, х = 1.
Ответ: при а = 0, х = 0;
При а = 1, х = 1;
При а 1, а0 решений нет.
8.Решите уравнение
Решение.
в = 4, х = 5.

Ответ: если в = 4, то х = 5,
Если в > 4, то х1 = 2в – 3, х2 = -2в+13;
Если в < 4, то решений нет.
Решите уравнение
Решение. (х – а)2 – (х+4)2 = 0,
(х – а + х + 4)(х – а – х – 4) = 0,
(2х – а + 4)(- а – 4) = 0,

1) 2) если а = - 4, то х если аØ
Ответ. Если а = 4, то х
Если а
Для каждого значения параметра а найдите число корней уравнения

Решение. Построим графики функций и у = а.
1) 2) 3)
у = а – семейство прямых, параллельных оси ОХ.
у=
4
2 у=а
0 1 3
если а <2, то уравнение решений не имеет,
если а = 2, то множеством решений является отрезок ,
если а > 2, то решений два.
Решите уравнение
Рассмотрим графики функций: 1) у = 3 – х, 2) у = - семейство прямых, полученных сдвигом графика функции вдоль оси ОХ.
1) а < 3у = если а < 3, то треугольник АВС – равно - 3 В бедренный, т. к. А = С = 450,
ВН – высота и медиана, значит Н – середина
С АС, поэтому х =
А Н 3

у = 3 – х

2) а = 3
графики совпадают при х 3
3
у = 3 – х
3) а > 3

решений нет

3
у = 3 - х
Ответ: при а < 3, х = ;
При а = 3, х 3;
При а > 3, решений нет.
Неравенства с модулем и параметром.
Рассмотрим неравенства с модулем и параметром.
1. а> 0
а 0, решений нет;
а >0, х – любое число не равное нулю.
а0
а < 0, х = 0;
а0, хR.
а < 0.
а0, решений нет;
а < 0, х – любое число не равное нулю.
4, а
1) а;
2)а > 0, х = 0.
5.
а < 0, хR;
а = 0, х – любое число не равное 3;
а > 0, тогда
Ответ: а < 0, хR;
при а = 0, хR; х 3;
при а > 0, х
6. .

а>2, хR;
a = 2, x > 5 или x < 5;
а<2,
Ответ: а>2, хR;
a = 2, ;
a < 2, , х
Нестандартные задачи.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и
1)
-5 5
5
2)
а) б) в)

-3 3 3)
-5-3 3 5
-2АВ
-5С
SABC =
Сколько решений имеет уравнение
Решим графически (аналитическое решение достаточно сложное).
1) у = х2 – 4х 2) у = х2 – 4
2
-4 4
-4
-4

3) у = 4

-4 4
у = m – прямые, параллельные оси ОХ.
Ответ: если m < 0, то решений нет;
если m = 0, то три решения;
если 0<m<4, то 6 решений;
если m = 4, то 4 решения;
если m > 4, то 2 решения.
3. Постройте график уравнения
Решение. 1) если х и у одного знака, то и уравнение имеет вид:
х2 + у2 = 4, это окружность с центром (0;0), радиусом R = 2.
если х и у разных знаков, то и уравнение имеет вид: , это окружность с центром (0;0) и радиусом R = .
2
0,5
-2 -0,5 2
4.Постройте график уравнения
Решение. Рассмотрим уравнение отдельно для каждой координатной четверти.
x > 0, у > 0: у + х = 1, у = 1 – х;
х < 0, у > 0: у = 1 + х;
х < 0, у < 0: - х – у = 1, у = - х – 1;
х > 0, у < 0: - у + х = 1, у = х – 1. График – квадрат.

Самостоятельно постройте графики зависимостей:
1) Ответы: 1) 2)2
2) у = 1
-1 -4 -2 0 2 4

5. Постройте график функции ,
1) x > 0, y = 1;1
2) x < 0, y = -1
-1
6. Постройте график функции
x > -1,y = x;
x < -1, y = -x.
-1
Самостоятельное моделирование.
Постройте графики зависимостей: Ответы:

1) 1
-1
2)

-6 -4 -2 0 2 4 6

2
3) 1
1/3

4
4)-2 1 2
-3
5
3
5) -23
- 5

2
2 2
6) 7)
-2 -2 2

8) 9)
-2 2

10)
2
-2 -2 2
Тест.
Из пяти предложенных ответов выбрать один верный.
Зависимость 1 2 3 4 5
1.
1
- 0,25

1
- 0,25
- 0,25
- 2
1
- 0,25
2.
2
- 0,25
1
- 0,25
1
- 0,25
- 0,25
- 2
1
3.
1

2
- 0,25 1
- 0,25
1
- 0,25
- 0,25
- 2
4.
1
- 0,25
1

2
- 0,25 1
- 0,25
1
- 0,25
5.
- 0,25

1
- 0.25
1
2
- 0,25 1
- 0,25
Ответы.
Номер задачи Номер правильного ответа
1 4
2 3
3 5
4 3
5 2
Задачи, которые под силу далеко не каждому абитуриенту.
Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите её площадь.
1.
Решение. Это два симметричных относительно оси ОУ круга с центрами в точках (-2;0) и (2;0) и радиусом R = 2.
S = 2πR2 = 2πּ4 = 8 π.
2

2.
Решение. Множество точек – ромб, полученный из ромба путём параллельного переноса точки пересечения диагоналей (0;0) в точку (3;2).

2
-3 0 3
-2
Диагонали ромба: d1 = 6, d2 = 4. S = 1|2 d1d2 = 1|2ּ6ּ4 = 12.
3.
1-е неравенство – множество точек координатной плоскости, из которого вырезан круг r=2 (без границы). Сторона квадрата, описанного около круга, равна 2r = 4, а диагональ Координаты вершин квадрата (;0), (0; ), (-; 0), (0;- ). Значит, неравенствомизображён квадрат, описанный около круга х2 + у2 = 4.

2

-2 2
-2 S = а2 - π r2 = 42 -π·4 = 16 - 4π.
4.
Первое неравенство задаёт на плоскости круг с центром (2;2) и r =2, второе – внутреннюю область прямого угла с вершиной в точке (2;0).

2
S = π r2 + · 2 r · r = 2π · 4 +· 2· 4 = 2π + 4.
2
5.
Первое неравенство задаёт на плоскости круг с центром (-2;0), r = 2, второе – квадрат с вершинами в точках (2;0), (0;2), (-2;0), (0;-2).
-2

2
Sсектора = π r2 = π·4 =π, т. к. r = 2, = 900 (1/4 круга).
-2
Творческая домашняя работа.
По данному графику функции у = f(x) постройте графики:
у = f(х) + 1
у = f (х + 4)
у =
у = 1 F
y = B C
y = f(-x) E K
1 2 3 4

M N
-1 A D
Используя один из графиков, нарисуйте орнамент.
Докажите, что квадрат ABCD равновелик фигуре MEFKN.
В чём связь графика функции y = f(x), изображённой на рисунке и «геометрии горящей свечи» (В чём связь, что символизирует, что напоминает)?
Дорисуйте любой из графиков до небольшого произведения искусства, ведь истинное искусство без математики не обходится: красота и математика идут рука об руку.

Приложенные файлы


Добавить комментарий